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@@ -11,5 +11,99 @@ On a $\ket{\psi} = c_{1}\ket{0} + c_{2}\ket{1}$ pour tout $\ket{\psi}$ représen &= c_{1}^*\bra{0} + c_{2}^*\bra{1} \end{align} $$ -- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$ +- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}d_{1}^* & d_{2}^*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$ - $\braket{ \phi | \psi } = (d_{1}^* \quad d_{2}^*) \cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = d_{1}^*c_{1} + d_{2}^*c_{2}$ +# Représentation de Bloch +L'état d'un qubit correspond également à un point sur la sphère unité +Si $\ket{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix}$ alors on a +$$ +\begin{align} +c_{1} = x_{0} + ix_{1} \\ +c_{2} = x_{2} + ix_{3} +\end{align} +$$ +où $|c_{1}|^2 + |c_{2}|^2 = 1$ +On peut effectuer le changement de variable : +$$ +\begin{align} +x_{0} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta) \\ +x_{1} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta) \\ +x_{2} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta + \phi) \\ +x_{3} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta + \phi) +\end{align} +$$ +On obtient alors : +$$ +\ket{\phi} = e^{i\beta} \cdot \begin{pmatrix} +\cos (\frac{\theta}{2}) \\ +e^{i\phi}\cdot \sin(\frac{\theta}{2}) +\end{pmatrix} +$$ +où $\beta$ est une phase (complexe) sans signification physique : $\braket{ \phi | \phi }$ ne dépend pas de $\beta$ + +L'état $\ket{\phi}$ peut donc être associé à un point sur la sphère unité avec les coordonnées $(x,y,z) = (\sin \theta \cdot \cos \phi,\sin \theta \cdot \sin \phi, \cos \theta)$ + +# Matrices de Pauli +On peut représenter un état dans une base différente de $\{ \ket{0}, \ket{1} \}$ +On peut utiliser la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ tels que : +$$ +\begin{align} +\ket{u} &= \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 } } \\ +\ket{v} &= \frac{\ket{0} - \ket{1} }{\sqrt{ 2 }} +\end{align} +$$ +De manière similaire si +$$ +\begin{align} +M &= 0 \cdot \ketbra{0}{0} + 1 \cdot \ketbra{1}{1} \\ +&= \begin{pmatrix} +0 & 0 \\ +0 & 1 +\end{pmatrix} +\end{align} +$$ +et dans la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ ou peut construire +$$ +\begin{align} +\ketbra{u}{u} - \ketbra{v}{v} &= \sigma_{x} \\ +&= X +\end{align} +$$ +Où $X$ est la _1ère matrice de Pauli_ +Les matrices $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ forment une base pour les matrices $M(\mathbb{C}_{2\times 2})$ +Elles vérifient la relation de commutation +$$ +\begin{align} +[\sigma_{i},\sigma_{j}] &= \sigma_{i}\sigma_{j} - \sigma_{j}\sigma_{i} \\ +&= 2 i \cdot \sum_{k} \epsilon_{ijk} \cdot \sigma_{k} +\end{align} +$$ +où $\epsilon_{ijk}$ est le symbole de Levi-Civita tq +$$ +\epsilon_{ijk} = \begin{cases} ++1 \qquad \text{si } (ijk) \text{ est une permutation paire de (123) : (1,2,3) ou (2,3,1) ou (3,1,2)} \\ +-1 \qquad \text{si } \dots \text{ impaire : (3,2,1),(1,3,2) ou (2,1,3)} \\ +0 \qquad \text{si i = j ou j = k ou k = i} +\end{cases} +$$ + +#### Exemple : +$$ +\begin{align} +&[\sigma_{x},\sigma_{y}] = 2i\sigma_{z} \\ +&\text{avec } i = x, j = y, k = z +\end{align} +$$ + +Cette relation est à la base de la structure d'algèbre de Lic où les $\sigma_{i}$ sont les générateurs des transformations unitaires + +# Polarisation de la lumière (??) +- Une onde électro-magnétique (EM) se propageant selon une direction $z$ est caractérisée par son champ $\vec{E}$ qui est $\bot$ à $z$ +- Le champ $\vec{E}$ peut s'écrire : +$$ +\vec{E} = E_{0}\cdot e^{i\delta_{0}} (\cos \theta \vec{i} + e^{i\delta}\sin \theta \vec{i}) e^{i\omega t} +$$ +- où $E_{0}$ est l'amplitude au champ $\vec{E}$ +- La partie réelle correspond à un champ "tournant" à une fréquence $\omega$ +- Pour simplifier l'exression de $\vec{E}$, on peut utiliser le vect de Jones $\vec{J} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\delta} \sin \theta\end{pmatrix}$ +- La direction de $\vec{E}$ pour une onde EM définit sa **polarisation**
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