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# Représentations matricielles
Il existe un isomorphisme entre l'espace de Hilbert associé à un qubit et l'espace des matrices $M_{2}(\mathbb{C})$.
- Par définition :
- $\ket{0} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$
- $\ket{1} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$
On a $\ket{\psi} = c_{1}\ket{0} + c_{2}\ket{1}$ pour tout $\ket{\psi}$ représentant un qubit ($c_i \in \mathbb{C}$)
- De plus $$
\begin{align}
\bra{\psi} &= c_{1}^*(1 \quad 0) + c_{2}^*(0 \quad 1) \\
&= (c_{1}^* \quad c_{2}^*) \\
&= c_{1}^*\bra{0} + c_{2}^*\bra{1}
\end{align}
$$
- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}d_{1}^* & d_{2}^*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$
- $\braket{ \phi | \psi } = (d_{1}^* \quad d_{2}^*) \cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = d_{1}^*c_{1} + d_{2}^*c_{2}$
# Représentation de Bloch
L'état d'un qubit correspond également à un point sur la sphère unité
Si $\ket{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix}$ alors on a
$$
\begin{align}
c_{1} = x_{0} + ix_{1} \\
c_{2} = x_{2} + ix_{3}
\end{align}
$$
où $|c_{1}|^2 + |c_{2}|^2 = 1$
On peut effectuer le changement de variable :
$$
\begin{align}
x_{0} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta) \\
x_{1} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta) \\
x_{2} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta + \phi) \\
x_{3} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta + \phi)
\end{align}
$$
On obtient alors :
$$
\ket{\phi} = e^{i\beta} \cdot \begin{pmatrix}
\cos (\frac{\theta}{2}) \\
e^{i\phi}\cdot \sin(\frac{\theta}{2})
\end{pmatrix}
$$
où $\beta$ est une phase (complexe) sans signification physique : $\braket{ \phi | \phi }$ ne dépend pas de $\beta$
L'état $\ket{\phi}$ peut donc être associé à un point sur la sphère unité avec les coordonnées $(x,y,z) = (\sin \theta \cdot \cos \phi,\sin \theta \cdot \sin \phi, \cos \theta)$
# Matrices de Pauli
On peut représenter un état dans une base différente de $\{ \ket{0}, \ket{1} \}$
On peut utiliser la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ tels que :
$$
\begin{align}
\ket{u} &= \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 } } \\
\ket{v} &= \frac{\ket{0} - \ket{1} }{\sqrt{ 2 }}
\end{align}
$$
De manière similaire si
$$
\begin{align}
M &= 0 \cdot \ketbra{0}{0} + 1 \cdot \ketbra{1}{1} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
$$
et dans la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ ou peut construire
$$
\begin{align}
\ketbra{u}{u} - \ketbra{v}{v} &= \sigma_{x} \\
&= X
\end{align}
$$
Où $X$ est la _1ère matrice de Pauli_
Les matrices $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ forment une base pour les matrices $M(\mathbb{C}_{2\times 2})$
Elles vérifient la relation de commutation
$$
\begin{align}
[\sigma_{i},\sigma_{j}] &= \sigma_{i}\sigma_{j} - \sigma_{j}\sigma_{i} \\
&= 2 i \cdot \sum_{k} \epsilon_{ijk} \cdot \sigma_{k}
\end{align}
$$
où $\epsilon_{ijk}$ est le symbole de Levi-Civita tq
$$
\epsilon_{ijk} = \begin{cases}
+1 \qquad \text{si } (ijk) \text{ est une permutation paire de (123) : (1,2,3) ou (2,3,1) ou (3,1,2)} \\
-1 \qquad \text{si } \dots \text{ impaire : (3,2,1),(1,3,2) ou (2,1,3)} \\
0 \qquad \text{si i = j ou j = k ou k = i}
\end{cases}
$$
#### Exemple :
$$
\begin{align}
&[\sigma_{x},\sigma_{y}] = 2i\sigma_{z} \\
&\text{avec } i = x, j = y, k = z
\end{align}
$$
Cette relation est à la base de la structure d'algèbre de Lic où les $\sigma_{i}$ sont les générateurs des transformations unitaires
# Polarisation de la lumière (??)
- Une onde électro-magnétique (EM) se propageant selon une direction $z$ est caractérisée par son champ $\vec{E}$ qui est $\bot$ à $z$
- Le champ $\vec{E}$ peut s'écrire :
$$
\vec{E} = E_{0}\cdot e^{i\delta_{0}} (\cos \theta \vec{i} + e^{i\delta}\sin \theta \vec{i}) e^{i\omega t}
$$
- où $E_{0}$ est l'amplitude au champ $\vec{E}$
- La partie réelle correspond à un champ "tournant" à une fréquence $\omega$
- Pour simplifier l'exression de $\vec{E}$, on peut utiliser le vect de Jones $\vec{J} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\delta} \sin \theta\end{pmatrix}$
- La direction de $\vec{E}$ pour une onde EM définit sa **polarisation**
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