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# Représentations matricielles
Il existe un isomorphisme entre l'espace de Hilbert associé à un qubit et l'espace des matrices $M_{2}(\mathbb{C})$.
- Par définition :
- $\ket{0} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$
- $\ket{1} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$
On a $\ket{\psi} = c_{1}\ket{0} + c_{2}\ket{1}$ pour tout $\ket{\psi}$ représentant un qubit ($c_i \in \mathbb{C}$)
- De plus $$
\begin{align}
\bra{\psi} &= c_{1}^*(1 \quad 0) + c_{2}^*(0 \quad 1) \\
&= (c_{1}^* \quad c_{2}^*) \\
&= c_{1}^*\bra{0} + c_{2}^*\bra{1}
\end{align}
$$
- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$
- $\braket{ \phi | \psi } = (d_{1}^* \quad d_{2}^*) \cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = d_{1}^*c_{1} + d_{2}^*c_{2}$
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