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diff --git a/PBS1/RMD1.md b/PBS1/RMD1.md index 5af78ea..54b230b 100755 --- a/PBS1/RMD1.md +++ b/PBS1/RMD1.md @@ -109,6 +109,8 @@ $F$ vérifie : ![[{D4A5C0C1-1CC5-40BD-8405-94426A60D0D6}.png]] ## Lois binomiale et normale ![[{86D3CCEA-A76F-40BE-9B62-8E2DC7C8BC44}.png]] + + ![[{A3B3B4D0-52E0-48E4-B81C-2C44E37A3228}.png]] ## Lois géométrique et de gamma ![[{18D748A3-B8D3-4E4D-A1A8-F2F70277DC38}.png]] diff --git a/PBS1/Suites de Variables Aléatoires.md b/PBS1/Suites de Variables Aléatoires.md new file mode 100755 index 0000000..0680ab8 --- /dev/null +++ b/PBS1/Suites de Variables Aléatoires.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# Introduction +4 types de convergence +- Presque sure +- En probabilité +- En $L_{2}$ +- En loi +## Espace probabilisé $\Omega$ +# Modes de convergence +## Convergence presque sûre +CV presque surement vers X si $P(\lim_{ n \to \infty } X_{n} = X) = 1$ +Donc $\exists \Omega' \subset \Omega$ tel que +## Convergence en $L^2$ (moment d'ordre 2) +(Moyenne quadratique) +Si le moment d'ordre 2 $E(|X|^2)$, CV $L^2$ si : +$$ +\mathbb{E}((X_{n} - X)^2) \underset{n \to + \infty} \longrightarrow 0 +$$ +## Convergence en probabilité +CV en proba vers $X$ si $\forall \varepsilon > 0$, +$$ +P(|X_{n} - X| > \varepsilon) \to_{n \to + \infty} 0 +$$ +ou de manière équivalente : +$$ +P(|X_{n} - X| \leq \varepsilon) \to_{n \to + \infty} 1 +$$ +Stable par application d'une fonction réelle définie et continue sur $\mathbb{R}$ +Valable pour $\frac{1}{X}$ si $P(X_{n} = 0) = P(X = 0) = 0$ + +## Convergence en loi +Si pour tout intervalle I de $\mathbb{R}$ +$$ +P(X_{n} \in I) \to P(X \in I) +$$ + +## Lien entre convergence en loi et fonction de répartition +La suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si et seulement si en tout point de continuité $x$ de la fonction de répartition $F_x$ de $X$ on a : +$$ +F_{X_{n}} \to +$$ + +# Loi forte des grands nombres +$(X_n)$ est une suite de v.a. **indépendantes identiquement distribuées** d'espérance $m$. +Alors $\overline{X_{n}} \overset{p.s.}{\longrightarrow} m$ +# Théorème Central-Limite +Soit $(X_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes et suivant toutes une même loi d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma > 0$. +On pose $\overline{X_{n}} = \frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n}$ et $Z_{n} = \frac{\overline{X_{n}} - m}{(\sigma / \sqrt{ n })}$ +Alors $Z_{n} \overset{l}{\longrightarrow} Z$ où $Z \rightsquigarrow \mathcal{N}(0,1)$ +/* +On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : +$$ +S_{n} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{k = 1} +$$\*/
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