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diff --git a/CHIFR/Cours/RMD4.md b/CHIFR/Cours/RMD4.md index 29e0ff6..0ce3ef0 100755 --- a/CHIFR/Cours/RMD4.md +++ b/CHIFR/Cours/RMD4.md @@ -2,7 +2,7 @@ Redondance = besoin de beaucoup d'espace ## Mots binaires -Un **mot binaire** de taille $k$ eset un élément de $\mathbb{F}_2^k$ c'est à dire $m = (m_{1},m_{2},\dots,m_{k})$ +Un **mot binaire** de taille $k$ est un élément de $\mathbb{F}_2^k$ c'est à dire $m = (m_{1},m_{2},\dots,m_{k})$ ## Distance de Hamming Nombre de différences entre deux mots binaires diff --git a/CHIFR/TD/TD4 - Codes Correcteurs.md b/CHIFR/TD/TD4 - Codes Correcteurs.md new file mode 100755 index 0000000..838d59f --- /dev/null +++ b/CHIFR/TD/TD4 - Codes Correcteurs.md @@ -0,0 +1,50 @@ +# 1 Codes correcteurs et cryptographie +## 1.1 Bases des codes linéaires +### Question 1-1 +$C = \{ 0000, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 1111 \}$ +#### a) +Oui 👍 +#### b) +$$ +G = \begin{pmatrix} +1100 \\ +0011 \\ +0110 +\end{pmatrix} +$$ +$$ +S = \begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 1\\ +0 & 1 & 0 & 1\\ +0 & 0 & 1 & 1 +\end{pmatrix} +$$ + +#### c) +$\mathcal{M} = \mathbb{F}_{2}^3$ +#### d) +$c = (101)\cdot \begin{pmatrix} 1100 \\ 0011\\ 0110\end{pmatrix}$ +$c = (1010)$ +#### e) +$H = \begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}$ +#### f) +$k = 3, n = 4, d = 2$ +#### g) +Oui 😊. Non 😔. +#### h) +On ne peut pas corriger l'erreur donc pas de crypto avec le système +#### g) +C'est Arthur (le vré). +### Question 1-2 +$$ +\begin{pmatrix} +1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ +0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 +\end{pmatrix} +$$ +### Question 1-3 +$c \in \mathbb{F}_{2}^5$. +$\mathcal{C} = \{ 00000, 11100, 01011, 10111 \}$ +### Question 1-4 +#### a) +$\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!} = \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}$ diff --git a/PBS1/RMD1.md b/PBS1/RMD1.md index 5af78ea..54b230b 100755 --- a/PBS1/RMD1.md +++ b/PBS1/RMD1.md @@ -109,6 +109,8 @@ $F$ vérifie : ![[{D4A5C0C1-1CC5-40BD-8405-94426A60D0D6}.png]] ## Lois binomiale et normale ![[{86D3CCEA-A76F-40BE-9B62-8E2DC7C8BC44}.png]] + + ![[{A3B3B4D0-52E0-48E4-B81C-2C44E37A3228}.png]] ## Lois géométrique et de gamma ![[{18D748A3-B8D3-4E4D-A1A8-F2F70277DC38}.png]] diff --git a/PBS1/Suites de Variables Aléatoires.md b/PBS1/Suites de Variables Aléatoires.md new file mode 100755 index 0000000..0680ab8 --- /dev/null +++ b/PBS1/Suites de Variables Aléatoires.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# Introduction +4 types de convergence +- Presque sure +- En probabilité +- En $L_{2}$ +- En loi +## Espace probabilisé $\Omega$ +# Modes de convergence +## Convergence presque sûre +CV presque surement vers X si $P(\lim_{ n \to \infty } X_{n} = X) = 1$ +Donc $\exists \Omega' \subset \Omega$ tel que +## Convergence en $L^2$ (moment d'ordre 2) +(Moyenne quadratique) +Si le moment d'ordre 2 $E(|X|^2)$, CV $L^2$ si : +$$ +\mathbb{E}((X_{n} - X)^2) \underset{n \to + \infty} \longrightarrow 0 +$$ +## Convergence en probabilité +CV en proba vers $X$ si $\forall \varepsilon > 0$, +$$ +P(|X_{n} - X| > \varepsilon) \to_{n \to + \infty} 0 +$$ +ou de manière équivalente : +$$ +P(|X_{n} - X| \leq \varepsilon) \to_{n \to + \infty} 1 +$$ +Stable par application d'une fonction réelle définie et continue sur $\mathbb{R}$ +Valable pour $\frac{1}{X}$ si $P(X_{n} = 0) = P(X = 0) = 0$ + +## Convergence en loi +Si pour tout intervalle I de $\mathbb{R}$ +$$ +P(X_{n} \in I) \to P(X \in I) +$$ + +## Lien entre convergence en loi et fonction de répartition +La suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si et seulement si en tout point de continuité $x$ de la fonction de répartition $F_x$ de $X$ on a : +$$ +F_{X_{n}} \to +$$ + +# Loi forte des grands nombres +$(X_n)$ est une suite de v.a. **indépendantes identiquement distribuées** d'espérance $m$. +Alors $\overline{X_{n}} \overset{p.s.}{\longrightarrow} m$ +# Théorème Central-Limite +Soit $(X_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes et suivant toutes une même loi d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma > 0$. +On pose $\overline{X_{n}} = \frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n}$ et $Z_{n} = \frac{\overline{X_{n}} - m}{(\sigma / \sqrt{ n })}$ +Alors $Z_{n} \overset{l}{\longrightarrow} Z$ où $Z \rightsquigarrow \mathcal{N}(0,1)$ +/* +On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : +$$ +S_{n} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{k = 1} +$$\*/
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