init: initial commit

1 files changed, 128 insertions, 0 deletions

diff --git a/PBS1/RMD1.md b/PBS1/RMD1.md
new file mode 100755
index 0000000..5af78ea
--- /dev/null
+++ b/PBS1/RMD1.md
@@ -0,0 +1,128 @@
+# Variables aléatoires discrètes
+
+**Indénombrable** : continu $\Leftrightarrow$ $\mathbb{R}$
+
+## Loi de probabilité
+
+**Loi de proba** :
+$$
+\begin{align*}
+\mathbb{P}: \mathcal{P}(\Omega) &\longrightarrow [0, 1] \\
+	A &\longmapsto \mathbb{P}(A)
+\end{align*}
+$$
+$(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})$ est un espace probabilisé
+
+**Loi d'une variable aléatoire discrète**
+$$
+\begin{align*}
+\mathbb{P}_{X}: \mathcal{P}(X(\Omega)) &\longrightarrow [0, 1] \\
+	A &\longmapsto \mathbb{P}_{X}(A) = \mathbb{P}(X \in A)
+\end{align*}
+$$
+
+En pratique, si $X(\Omega) = \{x_{n} | n \in [1; N]\}$ 
+
+#### Si $\Omega$ n'est pas nécessairement fini : les tribus
+
+**Tribu** :
+Soit $\mathcal{T} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ ($\mathcal{T}$ contient des sous-ensembles de $\Omega$).
+- $\mathcal{T}$ <u>n'est pas vide</u> : $\mathcal{T}$ contient au moins l'ensemble vide
+- $\mathcal{T}$ <u>est stable par complémentaire</u> : si $A \in \mathcal{T}$, alors $A^C \in \mathcal{T}$
+- $\mathcal{T}$ <u>est stable par union dénombrable</u> : Si une famille dénombrable d'ensemble $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$
+
+**Remarque** : $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ est une tribu
+
+**Loi d'une variable aléatoire réelle** :
+
+Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur $\Omega$
+
+$$
+\begin{align*}
+\mathbb{P}_{X}: \mathcal{P}(X(\Omega)) &\longrightarrow [0, 1] \\
+	A &\longmapsto \mathbb{P}_{X}(A) = \mathbb{P}(X \in A)
+\end{align*}
+$$
+Est sa loi de proba si :
+- $\mathbb{P}_X(\Omega) = 1$
+- Pour toute famille dénombrable $(A_n)_{n \in K}$ (où $K \subset \mathbb{N}$) d'éléments disjoints de $\mathcal{T}$ :
+		- La proba de l'union = somme des probas
+
+## Fonction de répartition
+
+À partir d'une loi de proba et d'une VAR $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, on peut définir la fonction de répartition de X notée $F_X$ tq :
+$$
+\begin{align*}
+F_X : \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
+X &\longmapsto \mathbb{P}(X \leq x)
+\end{align*}
+$$
+$F$ vérifie :
+- $\forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq F(x) \leq 1$
+- F est croissante et continue à droite pour tout point de $\mathbb{R}$
+- $\lim_{x \rightarrow - \infty} F_X(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty} = 1$
+
+# Variables aléatoires continues
+
+## Lois à densité
+
+On appelle densité de proba toute application **continue par morceaux** :
+$$
+\begin{align}
+f : \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
+	x &\longmapsto f(x) = x
+\end{align}
+$$
+
+telle que :
+1. La fonction de densité de proba doit être toujours positive $f(x) \geq 0, \,\forall x \in \mathbb{R}$
+2. L'intégrale de la fonction densité de proba sur l'ensemble des valeurs possibles doit être égale à 1 :
+$$
+\begin{align}
+	\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)dt = 1
+\end{align}
+$$
+(CV et vaut 1)
+
+## Fonction de répartition
+
+Soit $X$ une VAR et $F_X$ la fonction de répartition de $X$. On dit que $X$ est une variable aléatoire à densité s'il existe $f$ tq :
+$$
+\forall x \in \mathbb{R}, F_{X}(x) = \mathbb{P}(X\leq x) = \int^{x}_{-\infty}f(t)dt
+$$
+Et  $\mathbb{P}(X = a) = \mathbb{P}(X \in [a,a]) = F(a) - \lim_{x \rightarrow a^-} F_{X}(x) = 0$
+
+Soit $X$ une VAR admettant une densité $f$. On a alors $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2$ :
+1. $\mathbb{P}(a \leq X \leq b)  = F_X(b) - F_X(a) = \int^{b}_{a} f(x)dx$
+2. $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \mathbb{P}(a \lt X \leq b) = \mathbb{P}(a \leq X \lt b) = \mathbb{P}(a \lt X \lt b)$
+
+$F$ vérifie :
+- $\forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq F(x) \leq 1$
+- $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable en tout point où $f$ est continue et alors $F'_X = f$
+- F est croissante et continue à droite pour tout point de $\mathbb{R}$
+- $\lim_{x \rightarrow - \infty} F_X(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty} = 1$
+
+# Lois usuelles
+## Loi uniforme
+![[{BC5D44BC-3F46-4180-BCD4-4D5B3F4BA20A}.png]]
+## Lois de Bernoulli et normale centrée réduite
+![[{D4A5C0C1-1CC5-40BD-8405-94426A60D0D6}.png]]
+## Lois binomiale et normale
+![[{86D3CCEA-A76F-40BE-9B62-8E2DC7C8BC44}.png]]
+![[{A3B3B4D0-52E0-48E4-B81C-2C44E37A3228}.png]]
+## Lois géométrique et de gamma
+![[{18D748A3-B8D3-4E4D-A1A8-F2F70277DC38}.png]]
+## Lois de Poisson et exponentielle
+![[{2AAFC51F-57F7-497E-9B07-036BCA01D719}.png]]
+
+![[{0266C3BB-ED39-47C0-B60B-DEC52724FB76}.png]]
+
+![[{7CE9651F-9AB2-4B5A-B893-D67ADC25A533}.png]]
+
+# Conclusion
+
+Variable aléatoire : $X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$
+Probabilité : $\mathcal{P} \longrightarrow [0,1]$
+		$\mathcal{P}(\Omega) = 1$
+		$\forall A,B \in \mathbb{P}(\Omega), A \cap B = \emptyset, \mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(A) + \mathcal{P}(B)$
+		
\ No newline at end of file