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diff --git a/PBS1/Couple Aléatoire.md b/PBS1/Couple Aléatoire.md
new file mode 100755
index 0000000..ce6b43b
--- /dev/null
+++ b/PBS1/Couple Aléatoire.md
@@ -0,0 +1,53 @@
+# Couple aléatoire
+## Définition
+
+Un couple aléatoire discret est un coupl $(X,Y)$ de V.A. définies sur le même univers $\Omega$ et à valeurs dans $X(\Omega) \times Y(\Omega)=\{(x,y):x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)\}$
+
+On note $\{ X = x, Y = y \}$ l'évènement $X = x \cap Y = y$
+## Loi du couple
+On appelle loi de probabilité ou loi jointe du couple $(X,Y)$ l'application
+$$
+\begin{align}
+\mathbb{P}_{XY}: \qquad X(\Omega) \times Y(\Omega) &\longrightarrow [0,1] \\
+(x,y) &\longmapsto \mathbb{P}_{XY}(x,y) = \mathbb{P}(X=x,Y=y)
+\end{align}
+$$
+## Fonction de répartition
+La connaissance de $\mathbb{P}_{XY}$ équivaut à celle de la fonction de répartition définie pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ par :
+$$
+F_{XY}(x,y) = \mathbb{P}(X \leq x, Y\leq y)
+$$
+## Lois marginales
+On appelle loi marginale de $X$ l'application $\mathbb{P}_{X}$ de $X(\Omega)$ dans $[0,1]$ définie pour tout $x \in X(\Omega)$ par
+$$
+\mathbb{P}_{X}(x) = \mathbb{P}(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}_{XY}(x,y)
+$$
+Par analogie, on a
+$$
+\mathbb{P}_{Y}(y) = \mathbb{P}(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}_{XY}(x,y)
+$$
+## Lois conditionnelles
+Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire discret. On appelle loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$ l'application $\mathbb{P}_{X|Y}$ de $X(\Omega)$ dans $[0,1]$ définie pour tout couple $(x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ par
+$$
+\mathbb{P}_{X|Y}(x|y) = \mathbb{P}(X = x | Y = y) = \frac{\mathbb{P}_{XY}(x,y)}{\mathbb{P}_{Y}(y)}
+$$
+De façon analogue, on a $\mathbb{P}_{Y|X}$ :
+$$
+\mathbb{P}_{Y|X}(y|x) = \mathbb{P}(Y = y | X = x) = \frac{\mathbb{P}_{XY}(x,y)}{\mathbb{P}_{X}(x)}
+$$
+## Indépendance
+On dit que $X$ et $Y$ sont **indépendantes** ssi pour tout $x \in X(\Omega)$ et tout $y \in Y(\Omega)$,
+$$
+\mathbb{P}(X = x | Y = y) = \mathbb{P}(X = x) \quad et \quad \mathbb{P}(Y = y | X = x) = \mathbb{P}(Y = y)
+$$
+## Covariance
+Si $X$ et $Y$ sont définies sur le même $\Omega$, on appelle **covariance** de ces deux variables le réel :
+$$
+Cov(X,Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))(Y - \mathbb{E}(Y))]
+$$
+Ou aussi $Cov(X,Y) = \mathbb{E}(X \cdot Y) - \mathbb{E}(X) \cdot \mathbb{E}(Y)$
+### Interprétation
+- $Cov(X,Y) > 0 \implies$ Plus $X$ grandit, plus $Y$ grandit aussi
+- $Cov(X,Y) < 0 \implies$ Quand $X$ augmente, $Y$ diminue (et vice-versa)
+- $Cov(X,Y) \approx 0 \implies$ Les 2 variables ne sont pas vraiment liées
+## Corrélation
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diff --git a/PBS1/RMD1.md b/PBS1/RMD1.md
new file mode 100755
index 0000000..5af78ea
--- /dev/null
+++ b/PBS1/RMD1.md
@@ -0,0 +1,128 @@
+# Variables aléatoires discrètes
+
+**Indénombrable** : continu $\Leftrightarrow$ $\mathbb{R}$
+
+## Loi de probabilité
+
+**Loi de proba** :
+$$
+\begin{align*}
+\mathbb{P}: \mathcal{P}(\Omega) &\longrightarrow [0, 1] \\
+	A &\longmapsto \mathbb{P}(A)
+\end{align*}
+$$
+$(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})$ est un espace probabilisé
+
+**Loi d'une variable aléatoire discrète**
+$$
+\begin{align*}
+\mathbb{P}_{X}: \mathcal{P}(X(\Omega)) &\longrightarrow [0, 1] \\
+	A &\longmapsto \mathbb{P}_{X}(A) = \mathbb{P}(X \in A)
+\end{align*}
+$$
+
+En pratique, si $X(\Omega) = \{x_{n} | n \in [1; N]\}$ 
+
+#### Si $\Omega$ n'est pas nécessairement fini : les tribus
+
+**Tribu** :
+Soit $\mathcal{T} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ ($\mathcal{T}$ contient des sous-ensembles de $\Omega$).
+- $\mathcal{T}$ <u>n'est pas vide</u> : $\mathcal{T}$ contient au moins l'ensemble vide
+- $\mathcal{T}$ <u>est stable par complémentaire</u> : si $A \in \mathcal{T}$, alors $A^C \in \mathcal{T}$
+- $\mathcal{T}$ <u>est stable par union dénombrable</u> : Si une famille dénombrable d'ensemble $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$
+
+**Remarque** : $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ est une tribu
+
+**Loi d'une variable aléatoire réelle** :
+
+Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur $\Omega$
+
+$$
+\begin{align*}
+\mathbb{P}_{X}: \mathcal{P}(X(\Omega)) &\longrightarrow [0, 1] \\
+	A &\longmapsto \mathbb{P}_{X}(A) = \mathbb{P}(X \in A)
+\end{align*}
+$$
+Est sa loi de proba si :
+- $\mathbb{P}_X(\Omega) = 1$
+- Pour toute famille dénombrable $(A_n)_{n \in K}$ (où $K \subset \mathbb{N}$) d'éléments disjoints de $\mathcal{T}$ :
+		- La proba de l'union = somme des probas
+
+## Fonction de répartition
+
+À partir d'une loi de proba et d'une VAR $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, on peut définir la fonction de répartition de X notée $F_X$ tq :
+$$
+\begin{align*}
+F_X : \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
+X &\longmapsto \mathbb{P}(X \leq x)
+\end{align*}
+$$
+$F$ vérifie :
+- $\forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq F(x) \leq 1$
+- F est croissante et continue à droite pour tout point de $\mathbb{R}$
+- $\lim_{x \rightarrow - \infty} F_X(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty} = 1$
+
+# Variables aléatoires continues
+
+## Lois à densité
+
+On appelle densité de proba toute application **continue par morceaux** :
+$$
+\begin{align}
+f : \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
+	x &\longmapsto f(x) = x
+\end{align}
+$$
+
+telle que :
+1. La fonction de densité de proba doit être toujours positive $f(x) \geq 0, \,\forall x \in \mathbb{R}$
+2. L'intégrale de la fonction densité de proba sur l'ensemble des valeurs possibles doit être égale à 1 :
+$$
+\begin{align}
+	\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)dt = 1
+\end{align}
+$$
+(CV et vaut 1)
+
+## Fonction de répartition
+
+Soit $X$ une VAR et $F_X$ la fonction de répartition de $X$. On dit que $X$ est une variable aléatoire à densité s'il existe $f$ tq :
+$$
+\forall x \in \mathbb{R}, F_{X}(x) = \mathbb{P}(X\leq x) = \int^{x}_{-\infty}f(t)dt
+$$
+Et  $\mathbb{P}(X = a) = \mathbb{P}(X \in [a,a]) = F(a) - \lim_{x \rightarrow a^-} F_{X}(x) = 0$
+
+Soit $X$ une VAR admettant une densité $f$. On a alors $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2$ :
+1. $\mathbb{P}(a \leq X \leq b)  = F_X(b) - F_X(a) = \int^{b}_{a} f(x)dx$
+2. $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \mathbb{P}(a \lt X \leq b) = \mathbb{P}(a \leq X \lt b) = \mathbb{P}(a \lt X \lt b)$
+
+$F$ vérifie :
+- $\forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq F(x) \leq 1$
+- $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable en tout point où $f$ est continue et alors $F'_X = f$
+- F est croissante et continue à droite pour tout point de $\mathbb{R}$
+- $\lim_{x \rightarrow - \infty} F_X(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty} = 1$
+
+# Lois usuelles
+## Loi uniforme
+![[{BC5D44BC-3F46-4180-BCD4-4D5B3F4BA20A}.png]]
+## Lois de Bernoulli et normale centrée réduite
+![[{D4A5C0C1-1CC5-40BD-8405-94426A60D0D6}.png]]
+## Lois binomiale et normale
+![[{86D3CCEA-A76F-40BE-9B62-8E2DC7C8BC44}.png]]
+![[{A3B3B4D0-52E0-48E4-B81C-2C44E37A3228}.png]]
+## Lois géométrique et de gamma
+![[{18D748A3-B8D3-4E4D-A1A8-F2F70277DC38}.png]]
+## Lois de Poisson et exponentielle
+![[{2AAFC51F-57F7-497E-9B07-036BCA01D719}.png]]
+
+![[{0266C3BB-ED39-47C0-B60B-DEC52724FB76}.png]]
+
+![[{7CE9651F-9AB2-4B5A-B893-D67ADC25A533}.png]]
+
+# Conclusion
+
+Variable aléatoire : $X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$
+Probabilité : $\mathcal{P} \longrightarrow [0,1]$
+		$\mathcal{P}(\Omega) = 1$
+		$\forall A,B \in \mathbb{P}(\Omega), A \cap B = \emptyset, \mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(A) + \mathcal{P}(B)$
+		
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diff --git a/PBS1/RMD2.md b/PBS1/RMD2.md
new file mode 100755
index 0000000..f9e5ea8
--- /dev/null
+++ b/PBS1/RMD2.md
@@ -0,0 +1,69 @@
+# Espérance
+
+## VAD
+$$
+\mathbb{E}[X] = \sum^{n}_{i=1}x_{i} \cdot p_{i} = \sum^{n}_{i=1}x_{i}\cdot \mathbb{P}(X=x_{i})
+$$
+
+## VAC
+$$
+\mathbb{E}[X] = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx \approx \sum x_{i} f(x_{i})\delta x
+$$
+
+## Moment
+Espérance = moment d'ordre $k = 1$
+
+Espérance nulle $\implies$ $\mathbb{P}(X = 0) = 1$ et $\mathbb{P}(X > 0) = 0$
+Lorsque $\mathbb{E}(X) = 0$ avec $X \subseteq \mathbb{R}$, on dit que X est centrée
+
+### Exercice
+Un jeu de casino à 10 euros la partie permet de récupérer sa mise plus 10 euros dans 20% des cas, et de récupérer sa mise, plus 40 euros dans 10% des cas. Calculer l'espérance du gain algébrique (négatif en cas de perte).
+-10 +10 +40
+$$
+\mathbb{P}(X = 10) = 0.2, \mathbb{P}(X = 40) = 0.1, \mathbb{P}(X = -10) = 0.7
+$$
+$$
+\mathbb{E}(X) = 2 + 4 - 7 = -1
+$$
+## Propriétés
+
+- L'espérance est croissante : si $X$ et $Y$ sont deux VA sur $\Omega$ et $X \leq Y$ avec proba 1, alors $\mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)$
+- $\mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)$
+- Inégalité de Markov : X réelle positive espérance finie, $\forall a > 0, \mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$
+
+## Formule de transfert
+
+Pour toute fonction $\varphi$ continue,
+$$
+\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int^{+\infty}_{-\infty}\varphi(x) f(x)dx
+$$
+# Variance
+
+## Définition
+
+$$
+\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^{2}] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2
+$$
+
+### VAD
+$$
+\mathbb{V}(X) = \sum^{n}_{i=1}p_{i}\cdot(x_{i} - \mathbb{E}(X))^2 = \sum^{n}_{i=1} p_{i}^2\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) - \left( \sum^{n}_{i=1} x_{i}\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) \right)^2
+$$
+### VAC
+$$
+\mathbb{V}(X) = \int^{+\infty}_{-\infty}(x - \mathbb{E}(X))^2f(x)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x^2f(x)dx - \left( \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx \right)^2
+$$
+Si $\mathbb{E}(X)$ n'existe pas ou si l'intégrale diverge, X n'admet pas de variance.
+Sinon, on définit l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{ V(X) }$
+
+
+## Propriétés
+
+- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\, \mathbb{V}(aX+b) = a^2\mathbb{V}(X)$
+- $\forall (X,Y)$ de VA *indépendantes* $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$
+
+## Inégalité de Tchebychev
+
+$$
+\forall \varepsilon > 0,\, \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}
+$$
diff --git a/PBS1/Rappels intégrales.md b/PBS1/Rappels intégrales.md
new file mode 100755
index 0000000..707b3f5
--- /dev/null
+++ b/PBS1/Rappels intégrales.md
@@ -0,0 +1,6 @@
+# Riemann
+
+Soit $\alpha$, l'intégrale $$
+\int^{+\infty}_{1} \frac{1}{x^\alpha}dx$$ CV $\Leftrightarrow \alpha > 1$
+
+Soit $\alpha$, l'intégrale $$\int^{+\infty}_{0} e^{\alpha x} dx$$ CV $\Leftrightarrow \alpha < 0$
diff --git a/PBS1/TD1.md b/PBS1/TD1.md
new file mode 100755
index 0000000..8d10758
--- /dev/null
+++ b/PBS1/TD1.md
@@ -0,0 +1,14 @@
+# Exercice 1
+## 1.
+## 2.
+
+- 
+## 4.
+- $f$ est $C_{p.m.}$
+- $f(x) \geq 0 \Leftrightarrow k \geq 0$
+- $$
+\begin{align}
+	\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)dt &= \int^{+\infty}_{-\infty}ke^{-kt}dt \\
+	&= \int^{0}_{-\infty}ke^{-kt}dt + \int^{+\infty}_{0}ke^{-kt}dt \\
+\end{align}
+$$
\ No newline at end of file