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"# Écritures du produit scalaire\n",
"\n",
"Voici 3 différentes facon d'écrire le produit scalaire. Certaines sont plus claires que d'autres mais on trouve les 3 dans la littérature.\n",
"\n",
"### ${\\bf v} \\,.\\, {\\bf w}$\n",
"\n",
"Dans la feuille d'exercice qui suit et dans la cours par la suite, il y a beaucoup de produits scalaire qui utilise le point. Il est important de noter l'ordre de résolution des opérateurs dans un formule comme \n",
"\n",
"$$A \\, {\\bf v} \\, . \\, {\\bf w}$$\n",
"\n",
"* Si on fait $A ({\\bf v} \\, . \\, {\\bf w})$ alors le résultat est une matrice.\n",
"* Si on fait $(A {\\bf v} )\\, . \\, {\\bf w}$ alors le résultat est un réel.\n",
"\n",
"Dans la majorité des cas et en particulier dans ce cours, c'est la 2e lecture qui est la bonne.\n",
"\n",
"#### Danger\n",
"\n",
"Cette écriture est dangereuse.\n",
"Imaginez qu'on multiplie notre équation par $A^{-1}$. Alors on a envie d'écrire\n",
"\n",
"$$\n",
"A^{-1} \\, A \\, {\\bf v} \\, . \\, {\\bf w} = {\\bf v} \\, . \\, {\\bf w}\n",
"$$\n",
"\n",
"mais c'est faux (dans le second cas) car on oublie sur quoi porte le point du produit scalaire.\n",
"\n",
"### ${\\bf v}^T \\, {\\bf w}$\n",
"\n",
"\n",
"La notation matricielle de l'exemple précédant s'écrit \n",
"\n",
"$${\\bf v}^T A \\, {\\bf w}$$\n",
"\n",
"Dans ce cas on peut faire les calculs dans l'ordre de son choix. Si on commence par les 2 premiers on aura un vecteur horizontal, si on commence par les 2 dernièrs on aura un vecteur verctical. Cette notation est moins risquée lorsqu'on fait des\n",
"calculs plus complexes.\n",
"\n",
"\n",
"Avec la notation matricielle ce risque n'exite pas puisque multiplier par $A^{-1}$ donne\n",
"\n",
"$$\n",
"A^{-1} \\, {\\bf v}^T A \\, {\\bf w}\n",
"$$\n",
"\n",
"et on voit bien que les A ne se simplifient pas. \n",
"\n",
"### $<{\\bf v}, {\\bf w}>$\n",
"\n",
"\n",
"Une autre facon d'ecrire le produit matriciel pour éviter les confusions, est d'utiliser les signes\n",
"< et > ce qui donne **<a, b>** pour le produit scalaire entre **a** et **b**. Avec cette notation l'erreur\n",
"de lecture du produit scalaire avec le point disparait :\n",
"\n",
"$$\n",
"A^{-1} \\, < A \\, {\\bf v} \\,, \\, {\\bf w}> \n",
"$$\n",
"\n",
"Parfois on utilise les parenthèses à la place de inférieur et supérieur mais je trouve cela moins lisible."
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