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# Introduction
4 types de convergence
- Presque sure
- En probabilité
- En $L_{2}$
- En loi
## Espace probabilisé $\Omega$
# Modes de convergence
## Convergence presque sûre
CV presque surement vers X si $P(\lim_{ n \to \infty } X_{n} = X) = 1$
Donc $\exists \Omega' \subset \Omega$ tel que
## Convergence en $L^2$ (moment d'ordre 2)
(Moyenne quadratique)
Si le moment d'ordre 2 $E(|X|^2)$, CV $L^2$ si :
$$
\mathbb{E}((X_{n} - X)^2) \underset{n \to + \infty} \longrightarrow 0 
$$
## Convergence en probabilité
CV en proba vers $X$ si $\forall \varepsilon > 0$,
$$
P(|X_{n} - X| > \varepsilon) \to_{n \to + \infty} 0
$$
ou de manière équivalente :
$$
P(|X_{n} - X| \leq \varepsilon) \to_{n \to + \infty} 1
$$
Stable par application d'une fonction réelle définie et continue sur $\mathbb{R}$
Valable pour $\frac{1}{X}$ si $P(X_{n} = 0) = P(X = 0) = 0$

## Convergence en loi
Si pour tout intervalle I de $\mathbb{R}$
$$
P(X_{n} \in I) \to P(X \in I)
$$

## Lien entre convergence en loi et fonction de répartition
La suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si et seulement si en tout point de continuité $x$ de la fonction de répartition $F_x$ de $X$ on a :
$$
F_{X_{n}} \to 
$$

# Loi forte des grands nombres
$(X_n)$ est une suite de v.a. **indépendantes identiquement distribuées** d'espérance $m$.
Alors $\overline{X_{n}} \overset{p.s.}{\longrightarrow} m$
# Théorème Central-Limite
Soit $(X_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes et suivant toutes une même loi d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma > 0$.
On pose $\overline{X_{n}} = \frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n}$ et $Z_{n} = \frac{\overline{X_{n}} - m}{(\sigma / \sqrt{ n })}$
Alors $Z_{n} \overset{l}{\longrightarrow} Z$ où $Z \rightsquigarrow \mathcal{N}(0,1)$
/*
On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$
S_{n} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{k = 1}
$$\*/