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# Représentations matricielles
Il existe un isomorphisme entre l'espace de Hilbert associé à un qubit et l'espace des matrices $M_{2}(\mathbb{C})$.
- Par définition :
	- $\ket{0} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$
	- $\ket{1} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$
On a $\ket{\psi} = c_{1}\ket{0} + c_{2}\ket{1}$ pour tout $\ket{\psi}$ représentant un qubit ($c_i \in \mathbb{C}$)
- De plus $$
\begin{align}
\bra{\psi} &= c_{1}^*(1 \quad 0) + c_{2}^*(0 \quad 1) \\
&= (c_{1}^* \quad c_{2}^*) \\
&= c_{1}^*\bra{0} + c_{2}^*\bra{1}
\end{align}
$$
- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}d_{1}^* & d_{2}^*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$
- $\braket{ \phi | \psi } = (d_{1}^* \quad d_{2}^*) \cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = d_{1}^*c_{1} + d_{2}^*c_{2}$
# Représentation de Bloch
L'état d'un qubit correspond également à un point sur la sphère unité
Si $\ket{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix}$ alors on a
$$
\begin{align}
c_{1} = x_{0} + ix_{1} \\
c_{2} = x_{2} + ix_{3}
\end{align}
$$
où $|c_{1}|^2 + |c_{2}|^2 = 1$
On peut effectuer le changement de variable :
$$
\begin{align}
x_{0} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta) \\
x_{1} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta) \\
x_{2} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta + \phi) \\
x_{3} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta + \phi)
\end{align}
$$
On obtient alors :
$$
\ket{\phi} = e^{i\beta} \cdot \begin{pmatrix}
\cos (\frac{\theta}{2}) \\
e^{i\phi}\cdot \sin(\frac{\theta}{2})
\end{pmatrix}
$$
où $\beta$ est une phase (complexe) sans signification physique : $\braket{ \phi | \phi }$ ne dépend pas de $\beta$

L'état $\ket{\phi}$ peut donc être associé à un point sur la sphère unité avec les coordonnées $(x,y,z) = (\sin \theta \cdot \cos \phi,\sin \theta \cdot \sin \phi, \cos \theta)$

# Matrices de Pauli
On peut représenter un état dans une base différente de $\{ \ket{0}, \ket{1} \}$
On peut utiliser la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ tels que :
$$
\begin{align}
\ket{u} &= \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 } } \\
\ket{v} &= \frac{\ket{0} - \ket{1} }{\sqrt{ 2 }}
\end{align} 
$$
De manière similaire si
$$
\begin{align}
M &= 0 \cdot \ketbra{0}{0} + 1 \cdot \ketbra{1}{1} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
$$
et dans la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ ou peut construire
$$
\begin{align}
\ketbra{u}{u} - \ketbra{v}{v} &= \sigma_{x} \\
&= X
\end{align}
$$
Où $X$ est la _1ère matrice de Pauli_
Les matrices $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ forment une base pour les matrices $M(\mathbb{C}_{2\times 2})$
Elles vérifient la relation de commutation
$$
\begin{align}
[\sigma_{i},\sigma_{j}] &= \sigma_{i}\sigma_{j} - \sigma_{j}\sigma_{i} \\
&= 2 i \cdot \sum_{k} \epsilon_{ijk} \cdot \sigma_{k}
\end{align}
$$
où $\epsilon_{ijk}$ est le symbole de Levi-Civita tq
$$
\epsilon_{ijk} = \begin{cases}
+1 \qquad \text{si } (ijk) \text{ est une permutation paire de (123) : (1,2,3) ou (2,3,1) ou (3,1,2)} \\
-1 \qquad \text{si } \dots \text{ impaire : (3,2,1),(1,3,2) ou (2,1,3)} \\
0 \qquad \text{si i = j ou j = k ou k = i}
\end{cases}
$$

#### Exemple :
$$
\begin{align}
&[\sigma_{x},\sigma_{y}] = 2i\sigma_{z} \\
&\text{avec } i = x, j = y, k = z
\end{align}
$$

Cette relation est à la base de la structure d'algèbre de Lic où les $\sigma_{i}$ sont les générateurs des transformations unitaires

# Polarisation de la lumière (??)
- Une onde électro-magnétique (EM) se propageant selon une direction $z$ est caractérisée par son champ $\vec{E}$ qui est $\bot$ à $z$
- Le champ $\vec{E}$ peut s'écrire :
$$
\vec{E} = E_{0}\cdot e^{i\delta_{0}} (\cos \theta \vec{i} + e^{i\delta}\sin \theta \vec{i}) e^{i\omega t}
$$
- où $E_{0}$ est l'amplitude au champ $\vec{E}$
- La partie réelle correspond à un champ "tournant" à une fréquence $\omega$
- Pour simplifier l'expression de $\vec{E}$, on peut utiliser le vecteur de Jones $\vec{J} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\delta} \sin \theta\end{pmatrix}$
- La direction de $\vec{E}$ pour une onde EM définit sa **polarisation** (donnée par le vecteur de Jones)
- Par exemple, si $\delta = 0 = \theta$ alors $\vec{J} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}= \ket{0}$
- et si $\theta = \frac{\pi}{2}, \, \delta = 0$ alors $\vec{J} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \ket{1}$
- Si l'onde (ou photon) est dans :
	- l'état $\ket{0}$, la polarisation est dans l'état $H$ (parfois noté $\ket{H}$ ou $\ket{h}$)
	- l'état $\ket{1}$, la polarisation est dans l'état $V$, (noté $\ket{V}$ ou $\ket{v}$)

Dans ce type de polarisation rectiligne, $\vec{E}$ rest dans un plan contenant son ax de propagation et il oscille entre $-E_{0}$ et $+E_{0}$ (figure 2 p12)

D'autres polarisations sont possibles :
Les états propres de $\sigma_{y}$ ($\frac{1}{\sqrt{ 2 }} \begin{pmatrix}1 \\ i\end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{ 2 }}\begin{pmatrix}1 \\ -i\end{pmatrix}$) forment une base qui permet de décrire la polarisation circulaire d'une onde EM vers la gauche ou la droite
L'intérêt technique est qu'on peut modifier la polarisation d'une onde EM par un système de filtres (ou polarisateurs (voir figure 2))

Chaque polarisateur peut être associé à un opérateur hermitien s'exprimant comme une combinaison linéaire de matrices de Pauli
Par exemple, l'opérateur $P = \ketbra{R}{R}$ a les vecteurs propres $\ket{R}$ et $\ket{L}$ de valeurs propres respectives $1$ et $0$.
Dans la base $\{ \ket{R}, \ket{L} \}$ on a $P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
Aussi : $\ketbra{L}{L} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1\end{pmatrix}$ dans la base $\{ \ket{R}, \ket{L} \}$
En pratique, ces opérateurs permettent de mesurer si la polarisation d'une onde EM est selon $\ket{R}$ ou non
En termes de matrice de Pauli, on peut déterminer que :
$$
P = \ketbra{R}{R} = I_{2} + \sigma_{y}
$$
# Le spin
-> grandeur purement quantique
Expérience de Stern-Gerlach qui montre qu'un faisceau d'$e^-$ est dévié selon $O_z$ quand soumis à un champ magnétique  (fig 3)
Chacune des 2 trajectoires ($\pm z$) est associée à un état de **spin** représenté par $\ket{0}$ et  $\ket{1}$. La mesure de l'un ou l'autre de ces "états propres" de l'opérateur de spin $S_{z} = \frac{\hbar}{2} \sigma_{z}$ dont les résultats possibles sont $\pm \frac{\hbar}{2}$

Si on mesure le spin dans la direction de $x$, on utilise : $S_{x} = \frac{\hbar}{2} \sigma_{x}$ dont la base propre est $\ket{u} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}, \ket{v} = \frac{\ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}$

## Mesure du spin dans une direction arbitraire
On utilise la combinaison linéaire $n_{x}S_{x} + n_{y} S_{y} + n_{z}S_{z} = \vec{n}\cdot \vec{S}$ avec $||\vec{n}|| = 1$ et $\vec{S} = S_{x}\vec{i} + S_{y}\vec{j} + S_{z}\vec{z}$

Pour la règle de Born, si un $e^-$ est dans l'état $\ket{u}$ et que l'on mesure son spin selon $O_{z}$, on a $S_{0}\%$ de chances de le trouver dans l'état $\ket{0}$ ou $\ket{1}$
En multipliant les mesures sur l'état $\ket{u}$ du spin selon $O_{z}$, on obtient la valeur moyenne $\braket{ S_{z} } = \bra{u}S_{z}\ket{u}$
Par le calcul :
$$
\begin{align}
\braket{ S_{z} } &= \sum_{i}x_{i}p_{i} \qquad \text{(Espérance)}\\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{\hbar}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\hbar}{2} \right) \\
&= 0 \\
&= \bra{u} \frac{\hbar}{2}\sigma_{z}\ket{u}
\end{align}
$$
avec $\bra{u} = \frac{\bra{0} + \bra{1}}{\sqrt{ 2 }}$ et $\ket{u} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}$
A partir de la moyenne $\braket{ S_{z} }$ on peut calculer l'incertitude (écart type) associé à cette mesure :
$$
\begin{align}
\sigma^2 &= \Delta S_{z}^2 \\
&= \braket{ S_{z}^2 } - \braket{ S_{z}}^2  \\
&= \dots \\
&= \frac{\hbar}{2}\sin \theta
\end{align}
$$

Une mesure correspond à un choix d'opérateur en mécanique quantique
De manière générale, 2 opérateurs ne commutent pas, l'incertitude sur leur mesure simultanée possède un minimum. Au niveau expérimental, cela implique que si les mesures liées aux opérateurs A et B tels que
$$
\begin{align}
[A,B] &= AB - BA
&\neq 0
\end{align}
$$
ne peuvent être effectués sumultanément avec une précision arbitraire

# Produit direct (version matricielle)
- On peut définir l'opération dans la notation matricielle
- $$
\begin{align}
\ket{00} &= \ket{0} \otimes \ket{0} \\
&= \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
1 \times \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
0 \times \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 \times 1 = 0 \\
1 \times 0 = 0 \\
0 \times 1 = 0 \\
0 \times 0 = 0
\end{pmatrix}
\end{align}
$$
- Le produit de Kronecker entre deux opérateurs A et B de taille $n \times m$ et $p \times q$ respectivement et d'élément $A_{ij},B_{ij}$ est de la forme
$$
\begin{align}
A \otimes B = \begin{pmatrix}
A_{11}B & \dots & A_{1n}B \\
\vdots  & \ddots & \vdots \\
A_{m1} & \cdots & A_{mn}B
\end{pmatrix}
\end{align}
$$
avec $A_{ij}B = A_{ij}\begin{pmatrix}B_{11} & \cdots & B_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{p1} & \cdots & B_{pq}\end{pmatrix}$
conséquences : $(A \otimes B)(\ket{\psi} \otimes \ket{\phi}) = A\ket{\psi} \otimes B \ket{\phi}$