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diff --git a/PVCM/cama/fr/ma35 Système matriciel -- Exercices.ipynb b/PVCM/cama/fr/ma35 Système matriciel -- Exercices.ipynb new file mode 100644 index 0000000..2107be6 --- /dev/null +++ b/PVCM/cama/fr/ma35 Système matriciel -- Exercices.ipynb @@ -0,0 +1,190 @@ +{ + "metadata": { + "kernelspec": { + "display_name": "Python 3 (ipykernel)", + "language": "python", + "name": "python3" + }, + "language_info": { + "codemirror_mode": { + "name": "ipython", + "version": 3 + }, + "file_extension": ".py", + "mimetype": "text/x-python", + "name": "python", + "nbconvert_exporter": "python", + "pygments_lexer": "ipython3", + "version": "3.8.10" + } + }, + "nbformat": 4, + "nbformat_minor": 2, + "cells": [ + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": { + "lang": "fr" + }, + "source": [ + "__Programmation vectorielle__\n", + "\n", + "Le but des exercices est\n", + "\n", + "* d'avoir un programme qui donne la bonne réponse\n", + "* qui soit le plus rapide possible (et pour cela on utilise massivement Numpy)\n", + "\n", + "En règle général si vous avez des `for` imbriqués c'est mauvais signe." + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 1, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "import numpy as np\n", + "\n", + "np.set_printoptions(precision=10, linewidth=150, suppress=True)" + ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": { + "lang": "fr" + }, + "source": [ + "## Méthode du pivot de Gauss partiel\n", + "\n", + "L'ennoncé est dans le cours. On verifiera sur le cas qui génère des\n", + "erreurs d'arrondis." + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": { + "lang": "fr" + }, + "source": [ + "## Factorisation de Choleski\n", + "\n", + "Il s'agit de décomposer A en $A = B\\, B^T$ avec B une matrice triangulaire inférieure. Cela n'est possible\n", + "que si la matrice A est symétrique et définie positive (c'est d'ailleurs un facon de vérifier qu'une\n", + "matrice est définie positive).\n", + "\n", + "Écrire l'algorithme de Choleski qui prend A et retourne B (pour deviner l'algorithme, essayez de trouver les \n", + "coefficients de B à partir des coefficients de A sur une matrice A 4x4)." + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": { + "lang": "fr" + }, + "source": [ + "Rappel : pas de boucles `for` imbriquées mais des opérations vectorielles et matricielles (sur des sous-matrices).\n", + "\n", + "Créer une matrice symétrique définie positive et vérifier que sonprogramme marche bien." + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": { + "lang": "fr" + }, + "source": [ + "## Amméliorer Jacobi\n", + "\n", + "Lorsqu'on écrit une itération de la méthode de Jacobi avec l'ensemble des coefficients, on constate que\n", + "si on calcule la nouvelle valeur de **x** élément par élement alors lorsqu'on veut mettre à jour `x[1]`, \n", + "on connait déjà `x[0]`. Idem lorsqu'on met à jour `x[2]` on connait déjà `x[0]` et `x[1]`, etc.\n", + "\n", + "L'idée de la version amméliorée de Jacobi est d'utiliser la nouvelle valeur de `x[0]` et non pas l'ancienne\n", + "comme c'est le cas dans l'algorithme du cours. Ainsi en utilisant des valeurs mise à jour on peut espérer\n", + "converger plus vite.\n", + "\n", + "Dans ce cas, chaque itération demande un calcul ligne par ligne et donc une boucle `for` dans la boucle `for` sur\n", + "les itérations." + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": { + "lang": "fr" + }, + "source": [ + "#### Test d'arrêt\n", + "\n", + "On ajoutera un argument `error` à la fonction qui indique la précision désirée du résultat. Malheureusement pour connaitre la précision de notre calcul il faut connaitre la solution. On pourrait aussi calculer \n", + "${\\bf A \\, x}^t - {\\bf b}$ mais ce n'est pas non plus l'écart entre ${\\bf x}^t$ et la solution (en plus\n", + "c'est un calcul en n² donc lourd).\n", + "\n", + "Aussi on va regarder quand la\n", + "convergence ralentit et donc on s'arrête lorsque\n", + "$||{\\bf x}^{t+1} - {\\bf x}^t|| < \\texttt{error}$." + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": { + "lang": "fr" + }, + "source": [ + "#### Bonus\n", + "\n", + "Réécrire la méthode sans la boucle `for` mais en prenant bien le nouvelles valeurs de `x`. Pour cela on va découper la matrice **A** en deux matrices triangulaires." + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 2, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "# les méthodes de Numpy triu et tril seront utiles\n" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [] + } + ] +}
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