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index f9e5ea8..0000000
--- a/PBS1/RMD2.md
+++ /dev/null
@@ -1,69 +0,0 @@
-# Espérance
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-## VAD
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-\mathbb{E}[X] = \sum^{n}_{i=1}x_{i} \cdot p_{i} = \sum^{n}_{i=1}x_{i}\cdot \mathbb{P}(X=x_{i})
-$$
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-## VAC
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-\mathbb{E}[X] = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx \approx \sum x_{i} f(x_{i})\delta x
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-## Moment
-Espérance = moment d'ordre $k = 1$
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-Espérance nulle $\implies$ $\mathbb{P}(X = 0) = 1$ et $\mathbb{P}(X > 0) = 0$
-Lorsque $\mathbb{E}(X) = 0$ avec $X \subseteq \mathbb{R}$, on dit que X est centrée
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-### Exercice
-Un jeu de casino à 10 euros la partie permet de récupérer sa mise plus 10 euros dans 20% des cas, et de récupérer sa mise, plus 40 euros dans 10% des cas. Calculer l'espérance du gain algébrique (négatif en cas de perte).
--10 +10 +40
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-\mathbb{P}(X = 10) = 0.2, \mathbb{P}(X = 40) = 0.1, \mathbb{P}(X = -10) = 0.7
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-\mathbb{E}(X) = 2 + 4 - 7 = -1
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-## Propriétés
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-- L'espérance est croissante : si $X$ et $Y$ sont deux VA sur $\Omega$ et $X \leq Y$ avec proba 1, alors $\mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)$
-- $\mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)$
-- Inégalité de Markov : X réelle positive espérance finie, $\forall a > 0, \mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$
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-## Formule de transfert
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-Pour toute fonction $\varphi$ continue,
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-\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int^{+\infty}_{-\infty}\varphi(x) f(x)dx
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-# Variance
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-## Définition
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-\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^{2}] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2
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-### VAD
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-\mathbb{V}(X) = \sum^{n}_{i=1}p_{i}\cdot(x_{i} - \mathbb{E}(X))^2 = \sum^{n}_{i=1} p_{i}^2\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) - \left( \sum^{n}_{i=1} x_{i}\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) \right)^2
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-### VAC
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-\mathbb{V}(X) = \int^{+\infty}_{-\infty}(x - \mathbb{E}(X))^2f(x)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x^2f(x)dx - \left( \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx \right)^2
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-Si $\mathbb{E}(X)$ n'existe pas ou si l'intégrale diverge, X n'admet pas de variance.
-Sinon, on définit l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{ V(X) }$
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-## Propriétés
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-- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\, \mathbb{V}(aX+b) = a^2\mathbb{V}(X)$
-- $\forall (X,Y)$ de VA *indépendantes* $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$
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-## Inégalité de Tchebychev
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-\forall \varepsilon > 0,\, \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}
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