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 # Couple aléatoire
 ## Définition
 
-Un couple aléatoire discret est un coupl $(X,Y)$ de V.A. définies sur le même univers $\Omega$ et à valeurs dans $X(\Omega) \times Y(\Omega)=\{(x,y):x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)\}$
+Un couple aléatoire discret est un couple $(X,Y)$ de V.A. définies sur le même univers $\Omega$ et à valeurs dans $X(\Omega) \times Y(\Omega)=\{(x,y):x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)\}$
 
 On note $\{ X = x, Y = y \}$ l'évènement $X = x \cap Y = y$
 ## Loi du couple
@@ -57,7 +57,7 @@ $$
 $$
 Dépendance linéaire entre $X$ et $Y$.
 ![[Pasted image 20250414173315.png]]
-# Couple aléatoire discret
+# Couple aléatoire à densité
 ## Propriétés d'une densité
 Une fonction $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}_+$ est une densité de probabilité si elle vérifie les conditions suivantes :
 - **Positivité** : $f(x,y)\geq 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$
@@ -76,4 +76,57 @@ $$
 $$
 F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x ; Y \leq y) = \int^{y}_{-\infty}\int^{x}_{+\infty}f(x,y)dxdy
 $$
-## Corrélation
-\ No newline at end of file
+## Lois jointes et marginales
+Si un couple $(X,Y)$ a pour densité jointe la fonction $f$, on a :
+$$
+\begin{align}
+	\forall x \in X(\Omega), \quad f_{X}(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y)dy \\
+	\forall y \in Y(\Omega), \quad f_{Y}(y) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y)dx \\
+\end{align}
+$$
+## Densités conditionnelles
+Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire de densité jointe $f_{X,Y}$ et $f_X$, $f_Y$ les densités marginales de **X** et **Y** respectivement. On appelle densité conditionnelle de $X$ sachant $Y = y$ par :
+$$
+\forall y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, f_{X}(x) \neq 0, f_{Y|X}(x,y) = \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}
+$$
+De façon analogue, on a $Y$ sachant $X = x$ :
+$$
+\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, f_{Y}(y) \neq 0, f_{X|Y}(x,y) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}
+$$
+## Indépendance
+C.N.S. :
+$$
+\forall (x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), f(x,y) = f_{X}(x)f_{Y}(y)
+$$
+On a alors $f_{Y|X}(y,x) = f_{Y}(y)$ et $f_{X|Y}(x,y) = f_{X}(x)$
+
+## Moments de couple
+Soit $Z = \begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}$ un vecteur aléatoire de densité $f$.
+- Espérance $\mathbb{E}(Y | X = x) = \int^{+\infty}_{-\infty}yf_{Y|X=x}(y)dy$
+- Espérance $\mathbb{E}(Y) = \int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}(Y|X=x)f_{X}(x)dx = \int \int_{\mathbb{R}^2}yf(x,y)dydx$
+- Espérance $\mathbb{E}(Z) = \int \int_{\mathbb{R}²}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} f(x,y)dxdy = \begin{pmatrix}\int \int_{\mathbb{R}²}xf(x,y)dxdy \\ \int \int_{\mathbb{R}²}yf(x,y)dydx\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbb{E}(X) \\ \mathbb{E}(Y)\end{pmatrix}$
+- Covariance $Cov(Z) = \begin{pmatrix}\mathbb{V}(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(X,Y)& \mathbb{V}(Y)\end{pmatrix}$
+	- $Cov(X,Y) = \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X)) \times (Y - \mathbb{E}(Y))) = \int \int_{\mathbb{R}²}(x - \mathbb{E}(X))(y - \mathbb{E}(y))f(x,y)dxdy$
+	- $\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X))²), \qquad \mathbb{V}(Y) = \mathbb{E}((Y - \mathbb{E}(Y))²)$
+
+## Propriétés
+- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}², Var(aX + bY) = a²Var(X) + 2abCov(X,Y) + b²V(Y)$
+- $Cov(X,X) = Var(X)$
+- Symétrie : $Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$
+- Bilinéarité : Soient $a,b \in \mathbb{R}$. Alors $Cov(aX+bY,Z) = aCov(X,Y) + b(Cov(Y,Z))$ et $Cov(X,aY+bZ) = aCov(X,Y) + bCov(X,Z)$
+- Indépendance : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X,Y) = \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) = 0$ (en revanche $Cov(X,Y) = 0)$ n'implique pas forcément l'indépendance de $X$ et $Y$)
+- $|Cov(X,Y)| \leq \sigma(X)\sigma(Y)$ (égalité $\Leftrightarrow Y = aX + b$)
+## Corrélation
+Soient $X$ et $Y$ des v.a. de moyennes finies et de variance non nulles. Le **coefficient de corrélation** de $X$ et $Y$ est alors : $r(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$.
+$\rightarrow$ Mesure la relation linéaire entre 2 variables
+Si :
+- $r(X,Y) = 0$ alors $X$ et $Y$ sont "non corrélées"
+- $r(X,Y) > 0$ alors $X$ et $Y$ sont positivement corrélées
+- $r(X,Y) = 1$ alors $X$ et $Y$ sont parfaitement positivement corrélées
+- $r(X,Y) < 0$ alors $X$ et $Y$ sont négativement corrélées
+- $r(X,Y) = 1$ alors $X$ et $Y$ sont parfaitement négativement corrélées
+![[Pasted image 20250509112837.png]]
+
+## Loi d'une somme de variables continues indépendantes
+![[Pasted image 20250509112950.png]]
+![[Pasted image 20250509113011.png]]
+\ No newline at end of file