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@@ -105,5 +105,48 @@ $$ $$ - où $E_{0}$ est l'amplitude au champ $\vec{E}$ - La partie réelle correspond à un champ "tournant" à une fréquence $\omega$ -- Pour simplifier l'exression de $\vec{E}$, on peut utiliser le vect de Jones $\vec{J} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\delta} \sin \theta\end{pmatrix}$ -- La direction de $\vec{E}$ pour une onde EM définit sa **polarisation**
\ No newline at end of file +- Pour simplifier l'expression de $\vec{E}$, on peut utiliser le vecteur de Jones $\vec{J} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\delta} \sin \theta\end{pmatrix}$ +- La direction de $\vec{E}$ pour une onde EM définit sa **polarisation** (donnée par le vecteur de Jones) +- Par exemple, si $\delta = 0 = \theta$ alors $\vec{J} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}= \ket{0}$ +- et si $\theta = \frac{\pi}{2}, \, \delta = 0$ alors $\vec{J} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \ket{1}$ +- Si l'onde (ou photon) est dans : + - l'état $\ket{0}$, la polarisation est dans l'état $H$ (parfois noté $\ket{H}$ ou $\ket{h}$) + - l'état $\ket{1}$, la polarisation est dans l'état $V$, (noté $\ket{V}$ ou $\ket{v}$) + +Dans ce type de polarisation rectiligne, $\vec{E}$ rest dans un plan contenant son ax de propagation et il oscille entre $-E_{0}$ et $+E_{0}$ (figure 2 p12) + +D'autres polarisations sont possibles : +Les états propres de $\sigma_{y}$ ($\frac{1}{\sqrt{ 2 }} \begin{pmatrix}1 \\ i\end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{ 2 }}\begin{pmatrix}1 \\ -i\end{pmatrix}$) forment une base qui permet de décrire la polarisation circulaire d'une onde EM vers la gauche ou la droite +L'intérêt technique est qu'on peut modifier la polarisation d'une onde EM par un système de filtres (ou polarisateurs (voir figure 2)) + +Chaque polarisateur peut être associé à un opérateur hermitien s'exprimant comme une combinaison linéaire de matrices de Pauli +Par exemple, l'opérateur $P = \ketbra{R}{R}$ a les vecteurs propres $\ket{R}$ et $\ket{L}$ de valeurs propres respectives $1$ et $0$. +Dans la base $\{ \ket{R}, \ket{L} \}$ on a $P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ +Aussi : $\ketbra{L}{L} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1\end{pmatrix}$ dans la base $\{ \ket{R}, \ket{L} \}$ +En pratique, ces opérateurs permettent de mesurer si la polarisation d'une onde EM est selon $\ket{R}$ ou non +En termes de matrice de Pauli, on peut déterminer que : +$$ +P = \ketbra{R}{R} = I_{2} + \sigma_{y} +$$ +# Le spin +-> grandeur purement quantique +Expérience de Stern-Gerlach qui montre qu'un faisceau d'$e^-$ est dévié selon $O_z$ quand soumis à un champ magnétique (fig 3) +Chacune des 2 trajectoires ($\pm z$) est associée à un état de **spin** représenté par $\ket{0}$ et $\ket{1}$. La mesure de l'un ou l'autre de ces "états propres" de l'opérateur de spin $S_{z} = \frac{\hbar}{2} \sigma_{z}$ dont les résultats possibles sont $\pm \frac{\hbar}{2}$ + +Si on mesure le spin dans la direction de $x$, on utilise : $S_{x} = \frac{\hbar}{2} \sigma_{x}$ dont la base propre est $\ket{u} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}, \ket{v} = \frac{\ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}$ + +## Mesure du spin dans une direction arbitraire +On utilise la combinaison linéaire $n_{x}S_{x} + n_{y} S_{y} + n_{z}S_{z} = \vec{n}\cdot \vec{S}$ avec $||\vec{n}|| = 1$ et $\vec{S} = S_{x}\vec{i} + S_{y}\vec{j} + S_{z}\vec{z}$ + +Pour la règle de Born, si un $e^-$ est dans l'état $\ket{u}$ et que l'on mesure son spin se lon $O_{z}$, on a $S_{0}\%$ de chances de le trouver dans l'état $\ket{0}$ ou $\ket{1}$ +En multipliant les mesures sur l'état $\ket{u}$ du spin selon $O_{z}$, on obtient la valeur moyenne $\braket{ S_{z} } = \bra{u}S_{z}\ket{u}$ +Par le calcul : +$$ +\begin{align} +\braket{ S_{z} } &= \sum_{i}x_{i}p_{i} \\ +&= \frac{1}{2} \cdot \frac{\hbar}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\hbar}{2} \right) \\ +&= 0 \\ +&= \bra{u} \frac{\hbar}{2}\sigma_{z}\ket{u} +\end{align} +$$ +avec $\bra{u} = \frac{\bra{0} + \bra{1}}{\sqrt{ 2 }}$ et $\ket{u} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}$ |