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index 0000000..a742fb2
--- /dev/null
+++ b/ICQ/CM3.md
@@ -0,0 +1,152 @@
+# Représentations matricielles
+Il existe un isomorphisme entre l'espace de Hilbert associé à un qubit et l'espace des matrices $M_{2}(\mathbb{C})$.
+- Par définition :
+	- $\ket{0} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$
+	- $\ket{1} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$
+On a $\ket{\psi} = c_{1}\ket{0} + c_{2}\ket{1}$ pour tout $\ket{\psi}$ représentant un qubit ($c_i \in \mathbb{C}$)
+- De plus $$
+\begin{align}
+\bra{\psi} &= c_{1}^*(1 \quad 0) + c_{2}^*(0 \quad 1) \\
+&= (c_{1}^* \quad c_{2}^*) \\
+&= c_{1}^*\bra{0} + c_{2}^*\bra{1}
+\end{align}
+$$
+- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}d_{1}^* & d_{2}^*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$
+- $\braket{ \phi | \psi } = (d_{1}^* \quad d_{2}^*) \cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = d_{1}^*c_{1} + d_{2}^*c_{2}$
+# Représentation de Bloch
+L'état d'un qubit correspond également à un point sur la sphère unité
+Si $\ket{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix}$ alors on a
+$$
+\begin{align}
+c_{1} = x_{0} + ix_{1} \\
+c_{2} = x_{2} + ix_{3}
+\end{align}
+$$
+où $|c_{1}|^2 + |c_{2}|^2 = 1$
+On peut effectuer le changement de variable :
+$$
+\begin{align}
+x_{0} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta) \\
+x_{1} &= \cos(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta) \\
+x_{2} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\cos(\beta + \phi) \\
+x_{3} &= \sin(\frac{\theta}{2})\cdot\sin(\beta + \phi)
+\end{align}
+$$
+On obtient alors :
+$$
+\ket{\phi} = e^{i\beta} \cdot \begin{pmatrix}
+\cos (\frac{\theta}{2}) \\
+e^{i\phi}\cdot \sin(\frac{\theta}{2})
+\end{pmatrix}
+$$
+où $\beta$ est une phase (complexe) sans signification physique : $\braket{ \phi | \phi }$ ne dépend pas de $\beta$
+
+L'état $\ket{\phi}$ peut donc être associé à un point sur la sphère unité avec les coordonnées $(x,y,z) = (\sin \theta \cdot \cos \phi,\sin \theta \cdot \sin \phi, \cos \theta)$
+
+# Matrices de Pauli
+On peut représenter un état dans une base différente de $\{ \ket{0}, \ket{1} \}$
+On peut utiliser la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ tels que :
+$$
+\begin{align}
+\ket{u} &= \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 } } \\
+\ket{v} &= \frac{\ket{0} - \ket{1} }{\sqrt{ 2 }}
+\end{align} 
+$$
+De manière similaire si
+$$
+\begin{align}
+M &= 0 \cdot \ketbra{0}{0} + 1 \cdot \ketbra{1}{1} \\
+&= \begin{pmatrix}
+0 & 0 \\
+0 & 1
+\end{pmatrix}
+\end{align}
+$$
+et dans la base $\{ \ket{u}, \ket{v} \}$ ou peut construire
+$$
+\begin{align}
+\ketbra{u}{u} - \ketbra{v}{v} &= \sigma_{x} \\
+&= X
+\end{align}
+$$
+Où $X$ est la _1ère matrice de Pauli_
+Les matrices $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ forment une base pour les matrices $M(\mathbb{C}_{2\times 2})$
+Elles vérifient la relation de commutation
+$$
+\begin{align}
+[\sigma_{i},\sigma_{j}] &= \sigma_{i}\sigma_{j} - \sigma_{j}\sigma_{i} \\
+&= 2 i \cdot \sum_{k} \epsilon_{ijk} \cdot \sigma_{k}
+\end{align}
+$$
+où $\epsilon_{ijk}$ est le symbole de Levi-Civita tq
+$$
+\epsilon_{ijk} = \begin{cases}
++1 \qquad \text{si } (ijk) \text{ est une permutation paire de (123) : (1,2,3) ou (2,3,1) ou (3,1,2)} \\
+-1 \qquad \text{si } \dots \text{ impaire : (3,2,1),(1,3,2) ou (2,1,3)} \\
+0 \qquad \text{si i = j ou j = k ou k = i}
+\end{cases}
+$$
+
+#### Exemple :
+$$
+\begin{align}
+&[\sigma_{x},\sigma_{y}] = 2i\sigma_{z} \\
+&\text{avec } i = x, j = y, k = z
+\end{align}
+$$
+
+Cette relation est à la base de la structure d'algèbre de Lic où les $\sigma_{i}$ sont les générateurs des transformations unitaires
+
+# Polarisation de la lumière (??)
+- Une onde électro-magnétique (EM) se propageant selon une direction $z$ est caractérisée par son champ $\vec{E}$ qui est $\bot$ à $z$
+- Le champ $\vec{E}$ peut s'écrire :
+$$
+\vec{E} = E_{0}\cdot e^{i\delta_{0}} (\cos \theta \vec{i} + e^{i\delta}\sin \theta \vec{i}) e^{i\omega t}
+$$
+- où $E_{0}$ est l'amplitude au champ $\vec{E}$
+- La partie réelle correspond à un champ "tournant" à une fréquence $\omega$
+- Pour simplifier l'expression de $\vec{E}$, on peut utiliser le vecteur de Jones $\vec{J} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\delta} \sin \theta\end{pmatrix}$
+- La direction de $\vec{E}$ pour une onde EM définit sa **polarisation** (donnée par le vecteur de Jones)
+- Par exemple, si $\delta = 0 = \theta$ alors $\vec{J} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}= \ket{0}$
+- et si $\theta = \frac{\pi}{2}, \, \delta = 0$ alors $\vec{J} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \ket{1}$
+- Si l'onde (ou photon) est dans :
+	- l'état $\ket{0}$, la polarisation est dans l'état $H$ (parfois noté $\ket{H}$ ou $\ket{h}$)
+	- l'état $\ket{1}$, la polarisation est dans l'état $V$, (noté $\ket{V}$ ou $\ket{v}$)
+
+Dans ce type de polarisation rectiligne, $\vec{E}$ rest dans un plan contenant son ax de propagation et il oscille entre $-E_{0}$ et $+E_{0}$ (figure 2 p12)
+
+D'autres polarisations sont possibles :
+Les états propres de $\sigma_{y}$ ($\frac{1}{\sqrt{ 2 }} \begin{pmatrix}1 \\ i\end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{ 2 }}\begin{pmatrix}1 \\ -i\end{pmatrix}$) forment une base qui permet de décrire la polarisation circulaire d'une onde EM vers la gauche ou la droite
+L'intérêt technique est qu'on peut modifier la polarisation d'une onde EM par un système de filtres (ou polarisateurs (voir figure 2))
+
+Chaque polarisateur peut être associé à un opérateur hermitien s'exprimant comme une combinaison linéaire de matrices de Pauli
+Par exemple, l'opérateur $P = \ketbra{R}{R}$ a les vecteurs propres $\ket{R}$ et $\ket{L}$ de valeurs propres respectives $1$ et $0$.
+Dans la base $\{ \ket{R}, \ket{L} \}$ on a $P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
+Aussi : $\ketbra{L}{L} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1\end{pmatrix}$ dans la base $\{ \ket{R}, \ket{L} \}$
+En pratique, ces opérateurs permettent de mesurer si la polarisation d'une onde EM est selon $\ket{R}$ ou non
+En termes de matrice de Pauli, on peut déterminer que :
+$$
+P = \ketbra{R}{R} = I_{2} + \sigma_{y}
+$$
+# Le spin
+-> grandeur purement quantique
+Expérience de Stern-Gerlach qui montre qu'un faisceau d'$e^-$ est dévié selon $O_z$ quand soumis à un champ magnétique  (fig 3)
+Chacune des 2 trajectoires ($\pm z$) est associée à un état de **spin** représenté par $\ket{0}$ et  $\ket{1}$. La mesure de l'un ou l'autre de ces "états propres" de l'opérateur de spin $S_{z} = \frac{\hbar}{2} \sigma_{z}$ dont les résultats possibles sont $\pm \frac{\hbar}{2}$
+
+Si on mesure le spin dans la direction de $x$, on utilise : $S_{x} = \frac{\hbar}{2} \sigma_{x}$ dont la base propre est $\ket{u} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}, \ket{v} = \frac{\ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}$
+
+## Mesure du spin dans une direction arbitraire
+On utilise la combinaison linéaire $n_{x}S_{x} + n_{y} S_{y} + n_{z}S_{z} = \vec{n}\cdot \vec{S}$ avec $||\vec{n}|| = 1$ et $\vec{S} = S_{x}\vec{i} + S_{y}\vec{j} + S_{z}\vec{z}$
+
+Pour la règle de Born, si un $e^-$ est dans l'état $\ket{u}$ et que l'on mesure son spin se lon $O_{z}$, on a $S_{0}\%$ de chances de le trouver dans l'état $\ket{0}$ ou $\ket{1}$
+En multipliant les mesures sur l'état $\ket{u}$ du spin selon $O_{z}$, on obtient la valeur moyenne $\braket{ S_{z} } = \bra{u}S_{z}\ket{u}$
+Par le calcul :
+$$
+\begin{align}
+\braket{ S_{z} } &= \sum_{i}x_{i}p_{i} \\
+&= \frac{1}{2} \cdot \frac{\hbar}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\hbar}{2} \right) \\
+&= 0 \\
+&= \bra{u} \frac{\hbar}{2}\sigma_{z}\ket{u}
+\end{align}
+$$
+avec $\bra{u} = \frac{\bra{0} + \bra{1}}{\sqrt{ 2 }}$ et $\ket{u} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}$