{
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.8.10"
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 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5,
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "cfa8acda",
   "metadata": {
    "lang": "fr"
   },
   "source": [
    "# Écritures du produit scalaire\n",
    "\n",
    "Voici 3 différentes facon d'écrire le produit scalaire. Certaines sont plus claires que d'autres mais on trouve les 3 dans la littérature.\n",
    "\n",
    "### ${\\bf v} \\,.\\, {\\bf w}$\n",
    "\n",
    "Dans la feuille d'exercice qui suit et dans la cours par la suite, il y a beaucoup de produits scalaire qui utilise le point. Il est important de noter l'ordre de résolution des opérateurs dans un formule comme \n",
    "\n",
    "$$A \\, {\\bf v} \\, . \\, {\\bf w}$$\n",
    "\n",
    "* Si on fait $A  ({\\bf v} \\, . \\, {\\bf w})$ alors le résultat est une matrice.\n",
    "* Si on fait $(A  {\\bf v} )\\, . \\, {\\bf w}$ alors le résultat est un réel.\n",
    "\n",
    "Dans la majorité des cas et en particulier dans ce cours, c'est la 2e lecture qui est la bonne.\n",
    "\n",
    "#### Danger\n",
    "\n",
    "Cette écriture est dangereuse.\n",
    "Imaginez qu'on multiplie notre équation par $A^{-1}$. Alors on a envie d'écrire\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A^{-1} \\, A \\, {\\bf v} \\, . \\, {\\bf w} = {\\bf v} \\, . \\, {\\bf w}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "mais c'est faux (dans le second cas) car on oublie sur quoi porte le point du produit scalaire.\n",
    "\n",
    "### ${\\bf v}^T \\, {\\bf w}$\n",
    "\n",
    "\n",
    "La notation matricielle de l'exemple précédant s'écrit \n",
    "\n",
    "$${\\bf v}^T A \\, {\\bf w}$$\n",
    "\n",
    "Dans ce cas on peut faire les calculs dans l'ordre de son choix. Si on commence par les 2 premiers on aura un vecteur horizontal, si on commence par les 2 dernièrs on aura un vecteur verctical. Cette notation est moins risquée lorsqu'on fait des\n",
    "calculs plus complexes.\n",
    "\n",
    "\n",
    "Avec la notation matricielle ce risque n'exite pas puisque multiplier par $A^{-1}$ donne\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A^{-1} \\, {\\bf v}^T A \\, {\\bf w}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "et on voit bien que les A ne se simplifient pas. \n",
    "\n",
    "### $<{\\bf v}, {\\bf w}>$\n",
    "\n",
    "\n",
    "Une autre facon d'ecrire le produit matriciel pour éviter les confusions, est d'utiliser les signes\n",
    "< et > ce qui donne **<a, b>** pour le produit scalaire entre **a** et **b**. Avec cette notation l'erreur\n",
    "de lecture du produit scalaire avec le point disparait :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A^{-1} \\, < A \\, {\\bf v} \\,, \\, {\\bf w}> \n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Parfois on utilise les parenthèses à la place de inférieur et supérieur mais je trouve cela moins lisible."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "id": "db3e803c",
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   "source": []
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