# Variables aléatoires discrètes

**Indénombrable** : continu $\Leftrightarrow$ $\mathbb{R}$

## Loi de probabilité

**Loi de proba** :
$$
\begin{align*}
\mathbb{P}: \mathcal{P}(\Omega) &\longrightarrow [0, 1] \\
	A &\longmapsto \mathbb{P}(A)
\end{align*}
$$
$(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})$ est un espace probabilisé

**Loi d'une variable aléatoire discrète**
$$
\begin{align*}
\mathbb{P}_{X}: \mathcal{P}(X(\Omega)) &\longrightarrow [0, 1] \\
	A &\longmapsto \mathbb{P}_{X}(A) = \mathbb{P}(X \in A)
\end{align*}
$$

En pratique, si $X(\Omega) = \{x_{n} | n \in [1; N]\}$ 

#### Si $\Omega$ n'est pas nécessairement fini : les tribus

**Tribu** :
Soit $\mathcal{T} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ ($\mathcal{T}$ contient des sous-ensembles de $\Omega$).
- $\mathcal{T}$ <u>n'est pas vide</u> : $\mathcal{T}$ contient au moins l'ensemble vide
- $\mathcal{T}$ <u>est stable par complémentaire</u> : si $A \in \mathcal{T}$, alors $A^C \in \mathcal{T}$
- $\mathcal{T}$ <u>est stable par union dénombrable</u> : Si une famille dénombrable d'ensemble $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$

**Remarque** : $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ est une tribu

**Loi d'une variable aléatoire réelle** :

Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur $\Omega$

$$
\begin{align*}
\mathbb{P}_{X}: \mathcal{P}(X(\Omega)) &\longrightarrow [0, 1] \\
	A &\longmapsto \mathbb{P}_{X}(A) = \mathbb{P}(X \in A)
\end{align*}
$$
Est sa loi de proba si :
- $\mathbb{P}_X(\Omega) = 1$
- Pour toute famille dénombrable $(A_n)_{n \in K}$ (où $K \subset \mathbb{N}$) d'éléments disjoints de $\mathcal{T}$ :
		- La proba de l'union = somme des probas

## Fonction de répartition

À partir d'une loi de proba et d'une VAR $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, on peut définir la fonction de répartition de X notée $F_X$ tq :
$$
\begin{align*}
F_X : \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
X &\longmapsto \mathbb{P}(X \leq x)
\end{align*}
$$
$F$ vérifie :
- $\forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq F(x) \leq 1$
- F est croissante et continue à droite pour tout point de $\mathbb{R}$
- $\lim_{x \rightarrow - \infty} F_X(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty} = 1$

# Variables aléatoires continues

## Lois à densité

On appelle densité de proba toute application **continue par morceaux** :
$$
\begin{align}
f : \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
	x &\longmapsto f(x) = x
\end{align}
$$

telle que :
1. La fonction de densité de proba doit être toujours positive $f(x) \geq 0, \,\forall x \in \mathbb{R}$
2. L'intégrale de la fonction densité de proba sur l'ensemble des valeurs possibles doit être égale à 1 :
$$
\begin{align}
	\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)dt = 1
\end{align}
$$
(CV et vaut 1)

## Fonction de répartition

Soit $X$ une VAR et $F_X$ la fonction de répartition de $X$. On dit que $X$ est une variable aléatoire à densité s'il existe $f$ tq :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, F_{X}(x) = \mathbb{P}(X\leq x) = \int^{x}_{-\infty}f(t)dt
$$
Et  $\mathbb{P}(X = a) = \mathbb{P}(X \in [a,a]) = F(a) - \lim_{x \rightarrow a^-} F_{X}(x) = 0$

Soit $X$ une VAR admettant une densité $f$. On a alors $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2$ :
1. $\mathbb{P}(a \leq X \leq b)  = F_X(b) - F_X(a) = \int^{b}_{a} f(x)dx$
2. $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \mathbb{P}(a \lt X \leq b) = \mathbb{P}(a \leq X \lt b) = \mathbb{P}(a \lt X \lt b)$

$F$ vérifie :
- $\forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq F(x) \leq 1$
- $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable en tout point où $f$ est continue et alors $F'_X = f$
- F est croissante et continue à droite pour tout point de $\mathbb{R}$
- $\lim_{x \rightarrow - \infty} F_X(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty} = 1$

# Lois usuelles
## Loi uniforme
![[{BC5D44BC-3F46-4180-BCD4-4D5B3F4BA20A}.png]]
## Lois de Bernoulli et normale centrée réduite
![[{D4A5C0C1-1CC5-40BD-8405-94426A60D0D6}.png]]
## Lois binomiale et normale
![[{86D3CCEA-A76F-40BE-9B62-8E2DC7C8BC44}.png]]
![[{A3B3B4D0-52E0-48E4-B81C-2C44E37A3228}.png]]
## Lois géométrique et de gamma
![[{18D748A3-B8D3-4E4D-A1A8-F2F70277DC38}.png]]
## Lois de Poisson et exponentielle
![[{2AAFC51F-57F7-497E-9B07-036BCA01D719}.png]]

![[{0266C3BB-ED39-47C0-B60B-DEC52724FB76}.png]]

![[{7CE9651F-9AB2-4B5A-B893-D67ADC25A533}.png]]

# Conclusion

Variable aléatoire : $X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$
Probabilité : $\mathcal{P} \longrightarrow [0,1]$
		$\mathcal{P}(\Omega) = 1$
		$\forall A,B \in \mathbb{P}(\Omega), A \cap B = \emptyset, \mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(A) + \mathcal{P}(B)$