# Espérance

## VAD
$$
\mathbb{E}[X] = \sum^{n}_{i=1}x_{i} \cdot p_{i} = \sum^{n}_{i=1}x_{i}\cdot \mathbb{P}(X=x_{i})
$$

## VAC
$$
\mathbb{E}[X] = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx \approx \sum x_{i} f(x_{i})\delta x
$$

## Moment
Espérance = moment d'ordre $k = 1$

Espérance nulle $\implies$ $\mathbb{P}(X = 0) = 1$ et $\mathbb{P}(X > 0) = 0$
Lorsque $\mathbb{E}(X) = 0$ avec $X \subseteq \mathbb{R}$, on dit que X est centrée

### Exercice
Un jeu de casino à 10 euros la partie permet de récupérer sa mise plus 10 euros dans 20% des cas, et de récupérer sa mise, plus 40 euros dans 10% des cas. Calculer l'espérance du gain algébrique (négatif en cas de perte).
-10 +10 +40
$$
\mathbb{P}(X = 10) = 0.2, \mathbb{P}(X = 40) = 0.1, \mathbb{P}(X = -10) = 0.7
$$
$$
\mathbb{E}(X) = 2 + 4 - 7 = -1
$$
## Propriétés

- L'espérance est croissante : si $X$ et $Y$ sont deux VA sur $\Omega$ et $X \leq Y$ avec proba 1, alors $\mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)$
- $\mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)$
- Inégalité de Markov : X réelle positive espérance finie, $\forall a > 0, \mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$

## Formule de transfert

Pour toute fonction $\varphi$ continue,
$$
\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int^{+\infty}_{-\infty}\varphi(x) f(x)dx
$$
# Variance

## Définition

$$
\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^{2}] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2
$$

### VAD
$$
\mathbb{V}(X) = \sum^{n}_{i=1}p_{i}\cdot(x_{i} - \mathbb{E}(X))^2 = \sum^{n}_{i=1} p_{i}^2\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) - \left( \sum^{n}_{i=1} x_{i}\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) \right)^2
$$
### VAC
$$
\mathbb{V}(X) = \int^{+\infty}_{-\infty}(x - \mathbb{E}(X))^2f(x)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x^2f(x)dx - \left( \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx \right)^2
$$
Si $\mathbb{E}(X)$ n'existe pas ou si l'intégrale diverge, X n'admet pas de variance.
Sinon, on définit l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{ V(X) }$


## Propriétés

- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\, \mathbb{V}(aX+b) = a^2\mathbb{V}(X)$
- $\forall (X,Y)$ de VA *indépendantes* $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$

## Inégalité de Tchebychev

$$
\forall \varepsilon > 0,\, \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}
$$