# Couple aléatoire
## Définition

Un couple aléatoire discret est un couple $(X,Y)$ de V.A. définies sur le même univers $\Omega$ et à valeurs dans $X(\Omega) \times Y(\Omega)=\{(x,y):x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)\}$

On note $\{ X = x, Y = y \}$ l'évènement $X = x \cap Y = y$
## Loi du couple
On appelle loi de probabilité ou loi jointe du couple $(X,Y)$ l'application
$$
\begin{align}
\mathbb{P}_{XY}: \qquad X(\Omega) \times Y(\Omega) &\longrightarrow [0,1] \\
(x,y) &\longmapsto \mathbb{P}_{XY}(x,y) = \mathbb{P}(X=x,Y=y)
\end{align}
$$
## Fonction de répartition
La connaissance de $\mathbb{P}_{XY}$ équivaut à celle de la fonction de répartition définie pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ par :
$$
F_{XY}(x,y) = \mathbb{P}(X \leq x, Y\leq y)
$$
## Lois marginales
On appelle loi marginale de $X$ l'application $\mathbb{P}_{X}$ de $X(\Omega)$ dans $[0,1]$ définie pour tout $x \in X(\Omega)$ par
$$
\mathbb{P}_{X}(x) = \mathbb{P}(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}_{XY}(x,y)
$$
Par analogie, on a
$$
\mathbb{P}_{Y}(y) = \mathbb{P}(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}_{XY}(x,y)
$$
## Lois conditionnelles
Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire discret. On appelle loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$ l'application $\mathbb{P}_{X|Y}$ de $X(\Omega)$ dans $[0,1]$ définie pour tout couple $(x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ par
$$
\mathbb{P}_{X|Y}(x|y) = \mathbb{P}(X = x | Y = y) = \frac{\mathbb{P}_{XY}(x,y)}{\mathbb{P}_{Y}(y)}
$$
De façon analogue, on a $\mathbb{P}_{Y|X}$ :
$$
\mathbb{P}_{Y|X}(y|x) = \mathbb{P}(Y = y | X = x) = \frac{\mathbb{P}_{XY}(x,y)}{\mathbb{P}_{X}(x)}
$$
## Indépendance
On dit que $X$ et $Y$ sont **indépendantes** ssi pour tout $x \in X(\Omega)$ et tout $y \in Y(\Omega)$,
$$
\mathbb{P}(X = x | Y = y) = \mathbb{P}(X = x) \quad et \quad \mathbb{P}(Y = y | X = x) = \mathbb{P}(Y = y)
$$
## Covariance
Si $X$ et $Y$ sont définies sur le même $\Omega$, on appelle **covariance** de ces deux variables le réel :
$$
Cov(X,Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))(Y - \mathbb{E}(Y))]
$$
Ou aussi $Cov(X,Y) = \mathbb{E}(X \cdot Y) - \mathbb{E}(X) \cdot \mathbb{E}(Y)$
### Interprétation
- $Cov(X,Y) > 0 \implies$ Plus $X$ grandit, plus $Y$ grandit aussi
- $Cov(X,Y) < 0 \implies$ Quand $X$ augmente, $Y$ diminue (et vice-versa)
- $Cov(X,Y) \approx 0 \implies$ Les 2 variables ne sont pas vraiment liées

## Corrélation
$$
\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}
$$
Dépendance linéaire entre $X$ et $Y$.
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# Couple aléatoire à densité
## Propriétés d'une densité
Une fonction $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}_+$ est une densité de probabilité si elle vérifie les conditions suivantes :
- **Positivité** : $f(x,y)\geq 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$
- **Normalisation** : $\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}f(x,y)dxdy = 1$
## Couple aléatoire à densité
Un **couple aléatoire à densité** est un couple de variables aléatoires $(X,Y)$ défini sur un espace probabilisé et possédant une **densité conjointe $f_{X,Y}(x,y)$**.
Celà signifie que la probabilité que $(X,Y)$ appartienne à une région $A \subset \mathbb{R}^2$ est donnée par :
$$
P((X,Y) \in A) = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}f(x,y)dxdy
$$

$$
P(a \leq X \leq b ; c \leq Y \leq d) = \int^{d}_{c}\int^{b}_{a}f(x,y)dxdy
$$
## Fonction de répartition
$$
F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x ; Y \leq y) = \int^{y}_{-\infty}\int^{x}_{+\infty}f(x,y)dxdy
$$
## Lois jointes et marginales
Si un couple $(X,Y)$ a pour densité jointe la fonction $f$, on a :
$$
\begin{align}
	\forall x \in X(\Omega), \quad f_{X}(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y)dy \\
	\forall y \in Y(\Omega), \quad f_{Y}(y) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y)dx \\
\end{align}
$$
## Densités conditionnelles
Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire de densité jointe $f_{X,Y}$ et $f_X$, $f_Y$ les densités marginales de **X** et **Y** respectivement. On appelle densité conditionnelle de $X$ sachant $Y = y$ par :
$$
\forall y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, f_{X}(x) \neq 0, f_{Y|X}(x,y) = \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}
$$
De façon analogue, on a $Y$ sachant $X = x$ :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, f_{Y}(y) \neq 0, f_{X|Y}(x,y) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}
$$
## Indépendance
C.N.S. :
$$
\forall (x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), f(x,y) = f_{X}(x)f_{Y}(y)
$$
On a alors $f_{Y|X}(y,x) = f_{Y}(y)$ et $f_{X|Y}(x,y) = f_{X}(x)$

## Moments de couple
Soit $Z = \begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}$ un vecteur aléatoire de densité $f$.
- Espérance $\mathbb{E}(Y | X = x) = \int^{+\infty}_{-\infty}yf_{Y|X=x}(y)dy$
- Espérance $\mathbb{E}(Y) = \int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}(Y|X=x)f_{X}(x)dx = \int \int_{\mathbb{R}^2}yf(x,y)dydx$
- Espérance $\mathbb{E}(Z) = \int \int_{\mathbb{R}²}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} f(x,y)dxdy = \begin{pmatrix}\int \int_{\mathbb{R}²}xf(x,y)dxdy \\ \int \int_{\mathbb{R}²}yf(x,y)dydx\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbb{E}(X) \\ \mathbb{E}(Y)\end{pmatrix}$
- Covariance $Cov(Z) = \begin{pmatrix}\mathbb{V}(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(X,Y)& \mathbb{V}(Y)\end{pmatrix}$
	- $Cov(X,Y) = \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X)) \times (Y - \mathbb{E}(Y))) = \int \int_{\mathbb{R}²}(x - \mathbb{E}(X))(y - \mathbb{E}(y))f(x,y)dxdy$
	- $\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X))²), \qquad \mathbb{V}(Y) = \mathbb{E}((Y - \mathbb{E}(Y))²)$

## Propriétés
- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}², Var(aX + bY) = a²Var(X) + 2abCov(X,Y) + b²V(Y)$
- $Cov(X,X) = Var(X)$
- Symétrie : $Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$
- Bilinéarité : Soient $a,b \in \mathbb{R}$. Alors $Cov(aX+bY,Z) = aCov(X,Y) + b(Cov(Y,Z))$ et $Cov(X,aY+bZ) = aCov(X,Y) + bCov(X,Z)$
- Indépendance : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X,Y) = \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) = 0$ (en revanche $Cov(X,Y) = 0)$ n'implique pas forcément l'indépendance de $X$ et $Y$)
- $|Cov(X,Y)| \leq \sigma(X)\sigma(Y)$ (égalité $\Leftrightarrow Y = aX + b$)
## Corrélation
Soient $X$ et $Y$ des v.a. de moyennes finies et de variance non nulles. Le **coefficient de corrélation** de $X$ et $Y$ est alors : $r(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$.
$\rightarrow$ Mesure la relation linéaire entre 2 variables
Si :
- $r(X,Y) = 0$ alors $X$ et $Y$ sont "non corrélées"
- $r(X,Y) > 0$ alors $X$ et $Y$ sont positivement corrélées
- $r(X,Y) = 1$ alors $X$ et $Y$ sont parfaitement positivement corrélées
- $r(X,Y) < 0$ alors $X$ et $Y$ sont négativement corrélées
- $r(X,Y) = 1$ alors $X$ et $Y$ sont parfaitement négativement corrélées
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## Loi d'une somme de variables continues indépendantes
![[Pasted image 20250509112950.png]]
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