# Couple aléatoire
## Définition

Un couple aléatoire discret est un coupl $(X,Y)$ de V.A. définies sur le même univers $\Omega$ et à valeurs dans $X(\Omega) \times Y(\Omega)=\{(x,y):x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)\}$

On note $\{ X = x, Y = y \}$ l'évènement $X = x \cap Y = y$
## Loi du couple
On appelle loi de probabilité ou loi jointe du couple $(X,Y)$ l'application
$$
\begin{align}
\mathbb{P}_{XY}: \qquad X(\Omega) \times Y(\Omega) &\longrightarrow [0,1] \\
(x,y) &\longmapsto \mathbb{P}_{XY}(x,y) = \mathbb{P}(X=x,Y=y)
\end{align}
$$
## Fonction de répartition
La connaissance de $\mathbb{P}_{XY}$ équivaut à celle de la fonction de répartition définie pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ par :
$$
F_{XY}(x,y) = \mathbb{P}(X \leq x, Y\leq y)
$$
## Lois marginales
On appelle loi marginale de $X$ l'application $\mathbb{P}_{X}$ de $X(\Omega)$ dans $[0,1]$ définie pour tout $x \in X(\Omega)$ par
$$
\mathbb{P}_{X}(x) = \mathbb{P}(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}_{XY}(x,y)
$$
Par analogie, on a
$$
\mathbb{P}_{Y}(y) = \mathbb{P}(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}_{XY}(x,y)
$$
## Lois conditionnelles
Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire discret. On appelle loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$ l'application $\mathbb{P}_{X|Y}$ de $X(\Omega)$ dans $[0,1]$ définie pour tout couple $(x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ par
$$
\mathbb{P}_{X|Y}(x|y) = \mathbb{P}(X = x | Y = y) = \frac{\mathbb{P}_{XY}(x,y)}{\mathbb{P}_{Y}(y)}
$$
De façon analogue, on a $\mathbb{P}_{Y|X}$ :
$$
\mathbb{P}_{Y|X}(y|x) = \mathbb{P}(Y = y | X = x) = \frac{\mathbb{P}_{XY}(x,y)}{\mathbb{P}_{X}(x)}
$$
## Indépendance
On dit que $X$ et $Y$ sont **indépendantes** ssi pour tout $x \in X(\Omega)$ et tout $y \in Y(\Omega)$,
$$
\mathbb{P}(X = x | Y = y) = \mathbb{P}(X = x) \quad et \quad \mathbb{P}(Y = y | X = x) = \mathbb{P}(Y = y)
$$
## Covariance
Si $X$ et $Y$ sont définies sur le même $\Omega$, on appelle **covariance** de ces deux variables le réel :
$$
Cov(X,Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))(Y - \mathbb{E}(Y))]
$$
Ou aussi $Cov(X,Y) = \mathbb{E}(X \cdot Y) - \mathbb{E}(X) \cdot \mathbb{E}(Y)$
### Interprétation
- $Cov(X,Y) > 0 \implies$ Plus $X$ grandit, plus $Y$ grandit aussi
- $Cov(X,Y) < 0 \implies$ Quand $X$ augmente, $Y$ diminue (et vice-versa)
- $Cov(X,Y) \approx 0 \implies$ Les 2 variables ne sont pas vraiment liées

## Corrélation
$$
\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}
$$
Dépendance linéaire entre $X$ et $Y$.
![[Pasted image 20250414173315.png]]
# Couple aléatoire discret
## Propriétés d'une densité
Une fonction $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}_+$ est une densité de probabilité si elle vérifie les conditions suivantes :
- **Positivité** : $f(x,y)\geq 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$
- **Normalisation** : $\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}f(x,y)dxdy = 1$
## Couple aléatoire à densité
Un **couple aléatoire à densité** est un couple de variables aléatoires $(X,Y)$ défini sur un espace probabilisé et possédant une **densité conjointe $f_{X,Y}(x,y)$**.
Celà signifie que la probabilité que $(X,Y)$ appartienne à une région $A \subset \mathbb{R}^2$ est donnée par :
$$
P((X,Y) \in A) = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}f(x,y)dxdy
$$

$$
P(a \leq X \leq b ; c \leq Y \leq d) = \int^{d}_{c}\int^{b}_{a}f(x,y)dxdy
$$
## Fonction de répartition
$$
F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x ; Y \leq y) = \int^{y}_{-\infty}\int^{x}_{+\infty}f(x,y)dxdy
$$
## Corrélation