# Produit direct
Aussi appelé produit tensoriel
- Si $\ket{a}$ et $\ket{b} \in \{ \ket{0}, \ket{1} \}$, on peut écrire 4 produits directs différents
	- $\ket{0} \otimes \ket{1} = \ket{01}, \ket{1} \otimes \ket{0} = \ket{10}$
	- $\ket{0} \otimes \ket{0} = \ket{00},\ket{1} \otimes \ket{1} = \ket{11}$
- Ces 4 vecteurs forment une base dans l'_espace produit_ $\ket{a} \otimes \ket{b}$ de dimension $2^2 = 4$
- Donnent le système composite de sous-systèmes
- Ce mécanisme permet de copier l'espace de Hilbert associé à un qubit
- On peut alors former des espaces de Hilbert associés ) des registres à n qubits (dimension $2^n$)
## Exemple
$$
\begin{align}
a,b,c,d \in \{ 0,1 \} \\
\ket{\psi} &= c_{1}\ket{ab} + c_{2}\ket{cd} \\
\ket{\phi} &= d_{1}\ket{ab} + d_{2}\ket{cd} \\
\braket{\psi|\phi} &= (c_{1}^*\bra{ab} + c_{2}^*\bra{cd})\cdot(d_{1}\ket{ab} + d_{2}\ket{cd}) \\
&= c_{1}^*d_{1}\braket{ab|ab} + c_{2}^*d_{2}\braket{cd|cd} + c_{1}^*d_{2}\braket{ab|cd} + c_{2}^*d_{1}\braket{ cd | ab } 
\end{align}
$$
Or, $$
\braket{ ab | ab } = (\bra{a} \otimes \bra{b}  )(\ket{a} \otimes \ket{b}  ) = \braket{ a | a } \cdot \braket{ b | b }  = \delta_{aa} \cdot \delta_{bb} = 1
$$
De même :
$$
\braket{ ab | cd } = \dots = \delta_{ac} \cdot \delta_{bd} = 0
$$
Donc $\braket{ \psi | \phi } = c_{1}^*d_{1} + c_{2}^*d_{2}$

## Généralisation
$\braket{ \alpha \beta \gamma | abc } = \delta_{\alpha a} \cdot \delta_{\beta b} \cdot \delta_{\gamma c} \dots$

# Produit de Kronecker
$\ket{\psi}\bra{\phi}$
## Exemple
$\ket{ab}\bra{cd} = (\ket{a} \otimes \ket{b})(\bra{c} \otimes \bra{d}) = \ket{a}\bra{c} \tilde{\otimes} \ket{b}\bra{d}$
Où $\ketbra{a}{c}$ et $\Ketbra{b}{d}$ sont des opérateur agissant sur 1 qubit

On peut maintenant reformuler la règle 5 sur les registres à n qubits
**Règle 5** : Les registres à n qubits sont formés à partir du produit direct des vecteurs de base $\{ \ket{0}, \ket{1} \}$ décrivant 1 qubit
On a $\ket{a_{1}} \otimes \ket{a_{2}} \otimes \dots \otimes \ket{a_{n}}$ avec $a_{i} \in \{ 0,1 \}$

**R3** : Une mesure est associée à l'action d'un opérateur hermitien A. Le résultat est une valeur propre $\lambda$ de A avec la probabilité $P_{\lambda} = |\braket{ a | \psi }|^2$ où $\ket{a}$ est le vecteur propre de A tel que $A\ket{a} = \lambda \ket{a}$

**R4** : Après une mesure avec A, qui a pour résultat $\lambda$, le système est dans l'état propre $\ket{a}$ à une "phase complexe" près