# 1 Codes correcteurs et cryptographie
## 1.1 Bases des codes linéaires
### Question 1-1
$C = \{ 0000, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 1111 \}$
#### a)
Oui 👍
#### b)
$$
G = \begin{pmatrix}
1100 \\
0011 \\
0110
\end{pmatrix}
$$
$$
S = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$

#### c)
$\mathcal{M} = \mathbb{F}_{2}^3$
#### d)
$c = (101)\cdot \begin{pmatrix} 1100 \\ 0011\\ 0110\end{pmatrix}$
$c = (1010)$
#### e)
$H = \begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}$
#### f)
$k = 3, n = 4, d = 2$
#### g)
Oui 😊. Non 😔.
#### h)
On ne peut pas corriger l'erreur donc pas de crypto avec le système
#### g)
C'est Arthur (le vré).
### Question 1-2
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
### Question 1-3
$c \in \mathbb{F}_{2}^5$.
$\mathcal{C} = \{ 00000, 11100, 01011, 10111 \}$
### Question 1-4
#### a)
$\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!} = \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}$