# 1-1
## a/
Point $(3,4)$, d'une part $3^2 = 9 = 3$, d'autre part $4^3 + 2 \times 4 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5 \neq 3$ donc le point $(3,4)$ n'appartient pas à la courbe $E$.

## b/
D'une part $1^2 = 1$, d'autre part $2^3 + 2 \times 2 + 3 = 1 + 4 + 3 = 1$, donc le point $P$ appartient à $E$.

## c/
$-P = (2, -1) = (2, 6)$

## d/
$-Q(x_{Q},y_{Q}) = (x_{Q},-y_{Q} \mod{7})$

## e/
$$
\begin{cases}
m = 3 \times 2^2 + 2 \\
x = m^2 - 2 - 2 \\
y = m(2 - x) - 1
\end{cases}
\begin{cases}
m = 3 \\
x = 3 \\
y = 6
\end{cases}
$$

## f/

| $x$ | $x^3 + 2x + 3$ | $y^2$ |
| --- | -------------- | ----- |
| 0   | 3              | 0     |
| 1   | 6              | 1     |
| 2   | 1              | 4     |
| 3   | 1              | 2     |
| 4   | 5              | 2     |
| 5   | 5              | 4     |
| 6   | 0              | 1     |

Ainsi les points sont $(6,0), (2,1), (3,1), (2,6), (3,6)$

## g/
On a $Card(E(\mathbb{F}_{7})) = 5$
Et $7 + 1 - 2\sqrt{ 7 } \leq 5 \leq 7 + 1 + 2\sqrt{ 7 }$

## h/

|       | (2,1)         | (6,0)         | (3,1)         | (2,6)         | (3,6)         |
| ----- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- |
| (2,1) | (3,6)         | (3,1)         | (2,6)         | $\mathcal{O}$ | (6,0)         |
| (6,0) | (3,1)         | $\mathcal{O}$ |               |               |               |
| (3,1) | (2,6)         |               |               |               | $\mathcal{O}$ |
| (2,6) | $\mathcal{O}$ |               |               |               |               |
| (3,6) | (6,0)         |               | $\mathcal{O}$ |               |               |
![[{9A046A90-4F8A-4DC6-8F51-12FD72F497A4}.png]]

# 1-3
## a/

## b/
$K_{1} = a(K_{b}) = (x_{1},y_{1})$
$K_{2} = b(K_{a})$
$K_{b} = bG$
$K_{a} = aG$
$K_{1} = abG = bgA = K_{2}$

## c/
$$
Dec(Enc(m, pk),sk) \equiv \begin{cases}
x_{2}^{-1} c_{1} \mod{p} \\
y_{2}^{-1} c_{2} \mod{p}
\end{cases}
\equiv \begin{cases}
x_{2}^{-1}x_{1}m_{1} \mod{p} \\
y_{2}^{-1}y_{1}m_{1} \mod{p}
\end{cases}
$$
or $K_{1} = K_{2}$ donc $x_{1} = x_{2}$

## d/
À même message et clé on a même chiffré donc déterministe

## e/
$K_{2} = bK_{a} = 4(18,21) = 2 \times 2(18,21) = 2(14,17) = (21,9)$