# 1. Chiffrement historique
## 1-1/ César
### a.
25
### b.
Non, trop simple à bruteforce
### c.
Non, sensible au bruteforce
## 1-2/ N'importe quelle lettre
### a.
26!
### b.
Suffisant contre bruteforce
### c.
Cassable par analyse fréquentielle
## 1-3/ Sur un octet
### a.
256!
### b.
Suffisant contre bruteforce
### c.
Analyse fréquentielle ne fonctionne plus

# 2. Chiffrement par blocs
## 2.1 Modes opératoires
### 2-2 ECB
$$
\begin{align}
Enc &: &\{0,1\}^k& &\times& &\{ 0,1 \}^n &&\longrightarrow& &\{ 0,1 \}^n \\
 && K& &,&  &m & &\longmapsto & &Enc_{K}(m)
\end{align}
$$
#### a.
$$
\begin{align}
Dec &: &\{0,1\}^k& &\times& &\{ 0,1 \}^n &&\longrightarrow& &\{ 0,1 \}^n \\
 && K& &,&  &c & &\longmapsto & &Dec_{K}(c)
\end{align}
$$
#### b.
N'affecte pas, chiffrement indépendant
#### c.
Oui
### 2-3 OFB
$z_{0}=IV$, et $z_i=Enc_k(z_{i-1})$, $\forall i, 1 \leq i \leq t$
$c_i=m_i \oplus z_i$, $\forall i, 1 \leq i \leq t$
Avec $IV \in \{0,1\}^n$ un vecteur d'initialisation tiré aléatoirement
#### a.
$m_{i} = c_{i} \oplus z_{i}$
### 2-4 CBC
$c_{0}=IV, c_{i}=Enc_{k}(m_{i} \oplus c_{i-1}), \forall i,\, 1 \leq i \leq t$
#### a.
$m_{i} = Dec_{k}(c_{i}) \oplus c_{i-1}$
#### b.
Impact sur $m_i$ et $m_{i+1}$
#### c.
Non lol
### 2-5 PCBC
$c_{-1}=IV,\, c_{0} \oplus m_{o} = IV, c_{i} = Enc_{k}(m_{i} \oplus m_{i-1} \oplus c_{i-1}),\, 1 \leq i \leq t$
#### a.
## 2.2 Schéma de Feistel
### 2-6
Soient $f_1 : \{ 0,1 \}^4 \mapsto \{ 0,1 \}^4$ et $f_{2} : \{ 0,1 \}^4 \mapsto \{ 0,1 \}^4$ tels que $\forall a \in \{ 0,1 \}^4$
$$
f_{1}(a) := a \oplus 1011 \;et\; f_{2} := \overline{a} \oplus 0101
$$
#### a.
$$
\begin{align}
&\begin{cases}
L_{1} = R_{0} \\
R_{1} = L_{0} \oplus f_{1}(R_{0})
\end{cases} \\
&\begin{cases}
L_{1} = 0011 \\
R_{1} = 1101 \oplus 1000
\end{cases} \\
&\begin{cases}
L_{1} = 0011 \\
R_{1} = 0101
\end{cases} \\
&\begin{cases}
L_{2} = R_{1} = 0101 \\
R_{2} = L_{1} \oplus f_{2}(R_{1})
\end{cases} \\
&\begin{cases}
L_{2} = 0101 \\
R_{2} = 0011 \oplus 1010 \oplus 0101
\end{cases} \\
&\begin{cases}
L_{2} = 0101 \\
R_{2} = 0011 \oplus 1111
\end{cases} \\
&\begin{cases}
L_{2} = 0101 \\
R_{2} = 1100
\end{cases} \\
\end{align}
$$
Résultat : $L_2R_2 = 01011100$
#### b.
Soit $M = (L_0,R_0) \in \{ 0,1 \}^4 \times \{ 0,1 \}^4$, on a
$$
C_{0} = \begin{cases}
L_{2} = L_{0} \oplus f_{1}(R_{0}) \\
R_{2} = R_{0} \oplus f_{2}(L_{0} \oplus f_{1}(R_{0}))
\end{cases} = \begin{cases}
L_{2} = L_{0} \oplus f_{1}(R_{0}) \\
R_{2} = R_{0} \oplus f_{2}(L_{2})
\end{cases}
$$
#### c.
$$
C =\begin{cases}
L_{2} = L_{0} \\
R_{2} = R_{0}
\end{cases}
$$
Donc :
$$
\begin{align}
&f_{1}(R_{0}) = 0 \\
\implies& R_{0} \oplus 1011 = 0000 \\
\implies& R_{0} = 1011
\end{align}
$$
Et
$$
\begin{align}
&f_{2}(L_{0} \oplus f_{1}(R_{0})) = f_{2}(L_{0}) = 0 \\
\implies& \overline{L_{0}} \oplus 0101 = 0000 \\
\implies& \overline{L_{0}} = 0101 \\
\implies& L_{0} = 1010
\end{align}
$$
Donc $C = (1010, 1011)$

### 2-7
$$
F: \{ 0,1 \}^t \times \{ 0,1 \}^t \longrightarrow \{ 0,1 \}^t
$$
$$
K \in \{ 0,1 \}^t, \, M = (L_{0},R_{0}) \in \{ 0,1 \}^t \times \{ 0,1 \}^t,\, C = (L_{2},R_{2}) \in \{ 0,1 \}^t \times \{ 0,1 \}^t
$$

#### a/
$$
\begin{cases}
L_{1} = R_{0} \\
R_{1} = L_{0} \oplus F(K,R_{0})
\end{cases}
$$
#### b/
$$
\begin{cases}
L_{2} = L_{0} \oplus F(K,R_{0}) \\
R_{2} = R_{0} \oplus F(K,L_{0} \oplus F(K,R_{0}))
\end{cases}
$$
#### c/
$$
M' = (L_{0}',R_{0}) \in \{ 0,1 \}^t \times \{ 0,1 \}^t,\, C = (L_{2}',R_{2}') \in \{ 0,1 \}^t \times \{ 0,1 \}^t
$$
On a :
$$
\begin{cases}
L_{2}' = L_{0}' \oplus F(K, R_{0}) \\
R_{2}' = R_{0} \oplus F(K, L_{0}' \oplus F(K,R_{0}))
\end{cases}
$$
Donc :
$$
L_{2} \oplus L_{2}' = L_{0}' \oplus F(K,R_{0}) \oplus L_{0} \oplus F(K,R_{0}) = L_{0} \oplus L_{0}'
$$