# Codes correcteurs
Redondance = besoin de beaucoup d'espace

## Mots binaires
Un **mot binaire** de taille $k$ est un élément de $\mathbb{F}_2^k$ c'est à dire $m = (m_{1},m_{2},\dots,m_{k})$

## Distance de Hamming
Nombre de différences entre deux mots binaires

## Matrice génératrice [m,n]
$M_{m\times n}$
$\longrightarrow$ ajout d'une colonne de $(1,1,\dots,1)$ pour la distance ($+ = \oplus$)

## Poids d'un code
Nombre de coordonnées non-nulles $\omega (c) = Card(i | c = (c_{1},c_{2},\dots,c_{n}), c \neq 0)$

## Forme systématique de $G$
Si on peut écrire $G$ comme $G_{k,n} = (I_{k}|A_{k,n-k})$, on dit que le code est **systématique**.
$\implies$ on retrouve le mot en début de code suivi de sa redondance

## Matrice de parité
On prend $G = (I_{k}|A_{k,n-k})$, soit $H$ sa **matrice de vérification de parité** de taille $(n-k)\times n$, $H = (-A^T|I_{n-k})$
Dans tous les cas $GH^T=0$

## A retenir
- Le code est donc l'**image** de $G$ et le **noyau** de $H$
- $x \in \mathbb{F}_{2}^n$ est un code $\Leftrightarrow Hx^T = 0$
- La matrice $H$ permet de déterminer $d : d - 1$ colonnes sont toujours linéairement indépendantes, $d$ colonnes liées.

# Correction des codes
- message : m
- code : c
- bruit : code modifié $y = c + e$. L'erreur peut être exprimée avec $e \in \mathbb{F}_2^n$
- décodage : retrouver c à partir de y.

![[Pasted image 20250408100703.png]]

## Syndrôme
Soit $y \in \mathbb{F}_2^n$ le vecteur reçu. On appelle **syndrome** de $y$ $s(y) = Hy^T \in \mathbb{F}_{2}^{n-k}$