From bd910d2240ea42d97e47fc80c0b1886b979a9e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: marcellus Date: Fri, 9 May 2025 12:11:16 +0200 Subject: update: 09/05/2025 - 12:10 --- "PBS1/Couple Al\303\251atoire.md" | 59 ++++++++++++++++++++-- PBS1/Esperance - Variance.md | 69 ++++++++++++++++++++++++++ PBS1/RMD2.md | 69 -------------------------- "PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" | 24 +++++++++ 4 files changed, 149 insertions(+), 72 deletions(-) create mode 100755 PBS1/Esperance - Variance.md delete mode 100755 PBS1/RMD2.md create mode 100644 "PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" (limited to 'PBS1') diff --git "a/PBS1/Couple Al\303\251atoire.md" "b/PBS1/Couple Al\303\251atoire.md" index 27d599f..c733165 100755 --- "a/PBS1/Couple Al\303\251atoire.md" +++ "b/PBS1/Couple Al\303\251atoire.md" @@ -1,7 +1,7 @@ # Couple aléatoire ## Définition -Un couple aléatoire discret est un coupl $(X,Y)$ de V.A. définies sur le même univers $\Omega$ et à valeurs dans $X(\Omega) \times Y(\Omega)=\{(x,y):x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)\}$ +Un couple aléatoire discret est un couple $(X,Y)$ de V.A. définies sur le même univers $\Omega$ et à valeurs dans $X(\Omega) \times Y(\Omega)=\{(x,y):x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)\}$ On note $\{ X = x, Y = y \}$ l'évènement $X = x \cap Y = y$ ## Loi du couple @@ -57,7 +57,7 @@ $$ $$ Dépendance linéaire entre $X$ et $Y$. ![[Pasted image 20250414173315.png]] -# Couple aléatoire discret +# Couple aléatoire à densité ## Propriétés d'une densité Une fonction $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}_+$ est une densité de probabilité si elle vérifie les conditions suivantes : - **Positivité** : $f(x,y)\geq 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ @@ -76,4 +76,57 @@ $$ $$ F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x ; Y \leq y) = \int^{y}_{-\infty}\int^{x}_{+\infty}f(x,y)dxdy $$ -## Corrélation \ No newline at end of file +## Lois jointes et marginales +Si un couple $(X,Y)$ a pour densité jointe la fonction $f$, on a : +$$ +\begin{align} + \forall x \in X(\Omega), \quad f_{X}(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y)dy \\ + \forall y \in Y(\Omega), \quad f_{Y}(y) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y)dx \\ +\end{align} +$$ +## Densités conditionnelles +Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire de densité jointe $f_{X,Y}$ et $f_X$, $f_Y$ les densités marginales de **X** et **Y** respectivement. On appelle densité conditionnelle de $X$ sachant $Y = y$ par : +$$ +\forall y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, f_{X}(x) \neq 0, f_{Y|X}(x,y) = \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)} +$$ +De façon analogue, on a $Y$ sachant $X = x$ : +$$ +\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, f_{Y}(y) \neq 0, f_{X|Y}(x,y) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)} +$$ +## Indépendance +C.N.S. : +$$ +\forall (x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), f(x,y) = f_{X}(x)f_{Y}(y) +$$ +On a alors $f_{Y|X}(y,x) = f_{Y}(y)$ et $f_{X|Y}(x,y) = f_{X}(x)$ + +## Moments de couple +Soit $Z = \begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}$ un vecteur aléatoire de densité $f$. +- Espérance $\mathbb{E}(Y | X = x) = \int^{+\infty}_{-\infty}yf_{Y|X=x}(y)dy$ +- Espérance $\mathbb{E}(Y) = \int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}(Y|X=x)f_{X}(x)dx = \int \int_{\mathbb{R}^2}yf(x,y)dydx$ +- Espérance $\mathbb{E}(Z) = \int \int_{\mathbb{R}²}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} f(x,y)dxdy = \begin{pmatrix}\int \int_{\mathbb{R}²}xf(x,y)dxdy \\ \int \int_{\mathbb{R}²}yf(x,y)dydx\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbb{E}(X) \\ \mathbb{E}(Y)\end{pmatrix}$ +- Covariance $Cov(Z) = \begin{pmatrix}\mathbb{V}(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(X,Y)& \mathbb{V}(Y)\end{pmatrix}$ + - $Cov(X,Y) = \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X)) \times (Y - \mathbb{E}(Y))) = \int \int_{\mathbb{R}²}(x - \mathbb{E}(X))(y - \mathbb{E}(y))f(x,y)dxdy$ + - $\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X))²), \qquad \mathbb{V}(Y) = \mathbb{E}((Y - \mathbb{E}(Y))²)$ + +## Propriétés +- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}², Var(aX + bY) = a²Var(X) + 2abCov(X,Y) + b²V(Y)$ +- $Cov(X,X) = Var(X)$ +- Symétrie : $Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$ +- Bilinéarité : Soient $a,b \in \mathbb{R}$. Alors $Cov(aX+bY,Z) = aCov(X,Y) + b(Cov(Y,Z))$ et $Cov(X,aY+bZ) = aCov(X,Y) + bCov(X,Z)$ +- Indépendance : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X,Y) = \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) = 0$ (en revanche $Cov(X,Y) = 0)$ n'implique pas forcément l'indépendance de $X$ et $Y$) +- $|Cov(X,Y)| \leq \sigma(X)\sigma(Y)$ (égalité $\Leftrightarrow Y = aX + b$) +## Corrélation +Soient $X$ et $Y$ des v.a. de moyennes finies et de variance non nulles. Le **coefficient de corrélation** de $X$ et $Y$ est alors : $r(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$. +$\rightarrow$ Mesure la relation linéaire entre 2 variables +Si : +- $r(X,Y) = 0$ alors $X$ et $Y$ sont "non corrélées" +- $r(X,Y) > 0$ alors $X$ et $Y$ sont positivement corrélées +- $r(X,Y) = 1$ alors $X$ et $Y$ sont parfaitement positivement corrélées +- $r(X,Y) < 0$ alors $X$ et $Y$ sont négativement corrélées +- $r(X,Y) = 1$ alors $X$ et $Y$ sont parfaitement négativement corrélées +![[Pasted image 20250509112837.png]] + +## Loi d'une somme de variables continues indépendantes +![[Pasted image 20250509112950.png]] +![[Pasted image 20250509113011.png]] \ No newline at end of file diff --git a/PBS1/Esperance - Variance.md b/PBS1/Esperance - Variance.md new file mode 100755 index 0000000..f9e5ea8 --- /dev/null +++ b/PBS1/Esperance - Variance.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# Espérance + +## VAD +$$ +\mathbb{E}[X] = \sum^{n}_{i=1}x_{i} \cdot p_{i} = \sum^{n}_{i=1}x_{i}\cdot \mathbb{P}(X=x_{i}) +$$ + +## VAC +$$ +\mathbb{E}[X] = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx \approx \sum x_{i} f(x_{i})\delta x +$$ + +## Moment +Espérance = moment d'ordre $k = 1$ + +Espérance nulle $\implies$ $\mathbb{P}(X = 0) = 1$ et $\mathbb{P}(X > 0) = 0$ +Lorsque $\mathbb{E}(X) = 0$ avec $X \subseteq \mathbb{R}$, on dit que X est centrée + +### Exercice +Un jeu de casino à 10 euros la partie permet de récupérer sa mise plus 10 euros dans 20% des cas, et de récupérer sa mise, plus 40 euros dans 10% des cas. Calculer l'espérance du gain algébrique (négatif en cas de perte). +-10 +10 +40 +$$ +\mathbb{P}(X = 10) = 0.2, \mathbb{P}(X = 40) = 0.1, \mathbb{P}(X = -10) = 0.7 +$$ +$$ +\mathbb{E}(X) = 2 + 4 - 7 = -1 +$$ +## Propriétés + +- L'espérance est croissante : si $X$ et $Y$ sont deux VA sur $\Omega$ et $X \leq Y$ avec proba 1, alors $\mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)$ +- $\mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)$ +- Inégalité de Markov : X réelle positive espérance finie, $\forall a > 0, \mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$ + +## Formule de transfert + +Pour toute fonction $\varphi$ continue, +$$ +\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int^{+\infty}_{-\infty}\varphi(x) f(x)dx +$$ +# Variance + +## Définition + +$$ +\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^{2}] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 +$$ + +### VAD +$$ +\mathbb{V}(X) = \sum^{n}_{i=1}p_{i}\cdot(x_{i} - \mathbb{E}(X))^2 = \sum^{n}_{i=1} p_{i}^2\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) - \left( \sum^{n}_{i=1} x_{i}\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) \right)^2 +$$ +### VAC +$$ +\mathbb{V}(X) = \int^{+\infty}_{-\infty}(x - \mathbb{E}(X))^2f(x)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x^2f(x)dx - \left( \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx \right)^2 +$$ +Si $\mathbb{E}(X)$ n'existe pas ou si l'intégrale diverge, X n'admet pas de variance. +Sinon, on définit l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{ V(X) }$ + + +## Propriétés + +- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\, \mathbb{V}(aX+b) = a^2\mathbb{V}(X)$ +- $\forall (X,Y)$ de VA *indépendantes* $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$ + +## Inégalité de Tchebychev + +$$ +\forall \varepsilon > 0,\, \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2} +$$ diff --git a/PBS1/RMD2.md b/PBS1/RMD2.md deleted file mode 100755 index f9e5ea8..0000000 --- a/PBS1/RMD2.md +++ /dev/null @@ -1,69 +0,0 @@ -# Espérance - -## VAD -$$ -\mathbb{E}[X] = \sum^{n}_{i=1}x_{i} \cdot p_{i} = \sum^{n}_{i=1}x_{i}\cdot \mathbb{P}(X=x_{i}) -$$ - -## VAC -$$ -\mathbb{E}[X] = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx \approx \sum x_{i} f(x_{i})\delta x -$$ - -## Moment -Espérance = moment d'ordre $k = 1$ - -Espérance nulle $\implies$ $\mathbb{P}(X = 0) = 1$ et $\mathbb{P}(X > 0) = 0$ -Lorsque $\mathbb{E}(X) = 0$ avec $X \subseteq \mathbb{R}$, on dit que X est centrée - -### Exercice -Un jeu de casino à 10 euros la partie permet de récupérer sa mise plus 10 euros dans 20% des cas, et de récupérer sa mise, plus 40 euros dans 10% des cas. Calculer l'espérance du gain algébrique (négatif en cas de perte). --10 +10 +40 -$$ -\mathbb{P}(X = 10) = 0.2, \mathbb{P}(X = 40) = 0.1, \mathbb{P}(X = -10) = 0.7 -$$ -$$ -\mathbb{E}(X) = 2 + 4 - 7 = -1 -$$ -## Propriétés - -- L'espérance est croissante : si $X$ et $Y$ sont deux VA sur $\Omega$ et $X \leq Y$ avec proba 1, alors $\mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)$ -- $\mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)$ -- Inégalité de Markov : X réelle positive espérance finie, $\forall a > 0, \mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$ - -## Formule de transfert - -Pour toute fonction $\varphi$ continue, -$$ -\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int^{+\infty}_{-\infty}\varphi(x) f(x)dx -$$ -# Variance - -## Définition - -$$ -\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^{2}] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 -$$ - -### VAD -$$ -\mathbb{V}(X) = \sum^{n}_{i=1}p_{i}\cdot(x_{i} - \mathbb{E}(X))^2 = \sum^{n}_{i=1} p_{i}^2\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) - \left( \sum^{n}_{i=1} x_{i}\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) \right)^2 -$$ -### VAC -$$ -\mathbb{V}(X) = \int^{+\infty}_{-\infty}(x - \mathbb{E}(X))^2f(x)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x^2f(x)dx - \left( \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx \right)^2 -$$ -Si $\mathbb{E}(X)$ n'existe pas ou si l'intégrale diverge, X n'admet pas de variance. -Sinon, on définit l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{ V(X) }$ - - -## Propriétés - -- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\, \mathbb{V}(aX+b) = a^2\mathbb{V}(X)$ -- $\forall (X,Y)$ de VA *indépendantes* $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$ - -## Inégalité de Tchebychev - -$$ -\forall \varepsilon > 0,\, \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2} -$$ diff --git "a/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" "b/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" new file mode 100644 index 0000000..e36df55 --- /dev/null +++ "b/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" @@ -0,0 +1,24 @@ +# Point de départ +![[Pasted image 20250509115117.png]] +# Modes de convergence +## Convergence presque sûre +![[Pasted image 20250509115312.png]] +![[Pasted image 20250509115427.png]] +![[Pasted image 20250509115532.png]] +## Convergence en $L^{2}$ +![[Pasted image 20250509115732.png]] +![[Pasted image 20250509115752.png]] +## Convergence en probabilité +![[Pasted image 20250509115818.png]] +![[Pasted image 20250509115844.png]] +![[Pasted image 20250509115929.png]] +![[Pasted image 20250509120047.png]] +![[Pasted image 20250509120156.png]] + +# Théorèmes de convergence +## Loi faible des grands nombres (CV en probabilité) +![[Pasted image 20250509120611.png]] +## Loi forte des grands nombres (CV presque sûre) +![[Pasted image 20250509120700.png]] +## Théorème central limite (CV en loi + loi) +![[Pasted image 20250509120902.png]] -- cgit v1.2.3 From c54a3ee16cc3ed9feb9dd6e2c80282a6d9c980a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: marcellus Date: Sat, 10 May 2025 11:36:52 +0200 Subject: update: Saturday 6 May, 11:36:52 from --- "PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) (limited to 'PBS1') diff --git "a/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" "b/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" index e36df55..f359d7f 100644 --- "a/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" +++ "b/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" @@ -11,6 +11,7 @@ ## Convergence en probabilité ![[Pasted image 20250509115818.png]] ![[Pasted image 20250509115844.png]] +## Convergence en loi ![[Pasted image 20250509115929.png]] ![[Pasted image 20250509120047.png]] ![[Pasted image 20250509120156.png]] -- cgit v1.2.3 From a3045d7acdf813764334c3cd2055c6319a5882dd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: marcellus Date: Sat, 10 May 2025 19:09:52 +0200 Subject: update: Saturday 6 May, 19:09:52 from IUseArchBTW --- "PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'PBS1') diff --git "a/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" "b/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" index f359d7f..8921777 100644 --- "a/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" +++ "b/PBS1/Suite de variables al\303\251atoires.md" @@ -1,4 +1,4 @@ -# Point de départ +# Introduction ![[Pasted image 20250509115117.png]] # Modes de convergence ## Convergence presque sûre -- cgit v1.2.3