From bd910d2240ea42d97e47fc80c0b1886b979a9e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: marcellus <msimon_fr@hotmail.com>
Date: Fri, 9 May 2025 12:11:16 +0200
Subject: update: 09/05/2025 - 12:10

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 PBS1/RMD2.md | 69 ------------------------------------------------------------
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@@ -1,69 +0,0 @@
-# Espérance
-
-## VAD
-$$
-\mathbb{E}[X] = \sum^{n}_{i=1}x_{i} \cdot p_{i} = \sum^{n}_{i=1}x_{i}\cdot \mathbb{P}(X=x_{i})
-$$
-
-## VAC
-$$
-\mathbb{E}[X] = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx \approx \sum x_{i} f(x_{i})\delta x
-$$
-
-## Moment
-Espérance = moment d'ordre $k = 1$
-
-Espérance nulle $\implies$ $\mathbb{P}(X = 0) = 1$ et $\mathbb{P}(X > 0) = 0$
-Lorsque $\mathbb{E}(X) = 0$ avec $X \subseteq \mathbb{R}$, on dit que X est centrée
-
-### Exercice
-Un jeu de casino à 10 euros la partie permet de récupérer sa mise plus 10 euros dans 20% des cas, et de récupérer sa mise, plus 40 euros dans 10% des cas. Calculer l'espérance du gain algébrique (négatif en cas de perte).
--10 +10 +40
-$$
-\mathbb{P}(X = 10) = 0.2, \mathbb{P}(X = 40) = 0.1, \mathbb{P}(X = -10) = 0.7
-$$
-$$
-\mathbb{E}(X) = 2 + 4 - 7 = -1
-$$
-## Propriétés
-
-- L'espérance est croissante : si $X$ et $Y$ sont deux VA sur $\Omega$ et $X \leq Y$ avec proba 1, alors $\mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)$
-- $\mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)$
-- Inégalité de Markov : X réelle positive espérance finie, $\forall a > 0, \mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$
-
-## Formule de transfert
-
-Pour toute fonction $\varphi$ continue,
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-\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int^{+\infty}_{-\infty}\varphi(x) f(x)dx
-$$
-# Variance
-
-## Définition
-
-$$
-\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^{2}] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2
-$$
-
-### VAD
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-\mathbb{V}(X) = \sum^{n}_{i=1}p_{i}\cdot(x_{i} - \mathbb{E}(X))^2 = \sum^{n}_{i=1} p_{i}^2\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) - \left( \sum^{n}_{i=1} x_{i}\cdot\mathbb{P}(X = x_{i}) \right)^2
-$$
-### VAC
-$$
-\mathbb{V}(X) = \int^{+\infty}_{-\infty}(x - \mathbb{E}(X))^2f(x)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x^2f(x)dx - \left( \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx \right)^2
-$$
-Si $\mathbb{E}(X)$ n'existe pas ou si l'intégrale diverge, X n'admet pas de variance.
-Sinon, on définit l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{ V(X) }$
-
-
-## Propriétés
-
-- $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\, \mathbb{V}(aX+b) = a^2\mathbb{V}(X)$
-- $\forall (X,Y)$ de VA *indépendantes* $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$
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-## Inégalité de Tchebychev
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-$$
-\forall \varepsilon > 0,\, \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}
-$$
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