From 66c3bbfa94d8a41e58adf154be25e6d86fee8e30 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "martial.simon" <martial.simon@epita.fr>
Date: Sun, 13 Apr 2025 19:54:19 +0200
Subject: init: initial commit

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 CHIFR/Cours/RMD4.md | 39 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 39 insertions(+)
 create mode 100755 CHIFR/Cours/RMD4.md

(limited to 'CHIFR/Cours/RMD4.md')

diff --git a/CHIFR/Cours/RMD4.md b/CHIFR/Cours/RMD4.md
new file mode 100755
index 0000000..29e0ff6
--- /dev/null
+++ b/CHIFR/Cours/RMD4.md
@@ -0,0 +1,39 @@
+# Codes correcteurs
+Redondance = besoin de beaucoup d'espace
+
+## Mots binaires
+Un **mot binaire** de taille $k$ eset un élément de $\mathbb{F}_2^k$ c'est à dire $m = (m_{1},m_{2},\dots,m_{k})$
+
+## Distance de Hamming
+Nombre de différences entre deux mots binaires
+
+## Matrice génératrice [m,n]
+$M_{m\times n}$
+$\longrightarrow$ ajout d'une colonne de $(1,1,\dots,1)$ pour la distance ($+ = \oplus$)
+
+## Poids d'un code
+Nombre de coordonnées non-nulles $\omega (c) = Card(i | c = (c_{1},c_{2},\dots,c_{n}), c \neq 0)$
+
+## Forme systématique de $G$
+Si on peut écrire $G$ comme $G_{k,n} = (I_{k}|A_{k,n-k})$, on dit que le code est **systématique**.
+$\implies$ on retrouve le mot en début de code suivi de sa redondance
+
+## Matrice de parité
+On prend $G = (I_{k}|A_{k,n-k})$, soit $H$ sa **matrice de vérification de parité** de taille $(n-k)\times n$, $H = (-A^T|I_{n-k})$
+Dans tous les cas $GH^T=0$
+
+## A retenir
+- Le code est donc l'**image** de $G$ et le **noyau** de $H$
+- $x \in \mathbb{F}_{2}^n$ est un code $\Leftrightarrow Hx^T = 0$
+- La matrice $H$ permet de déterminer $d : d - 1$ colonnes sont toujours linéairement indépendantes, $d$ colonnes liées.
+
+# Correction des codes
+- message : m
+- code : c
+- bruit : code modifié $y = c + e$. L'erreur peut être exprimée avec $e \in \mathbb{F}_2^n$
+- décodage : retrouver c à partir de y.
+
+![[Pasted image 20250408100703.png]]
+
+## Syndrôme
+Soit $y \in \mathbb{F}_2^n$ le vecteur reçu. On appelle **syndrome** de $y$ $s(y) = Hy^T \in \mathbb{F}_{2}^{n-k}$
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cgit v1.2.3