From 66c3bbfa94d8a41e58adf154be25e6d86fee8e30 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "martial.simon" <martial.simon@epita.fr>
Date: Sun, 13 Apr 2025 19:54:19 +0200
Subject: init: initial commit

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 CHIFR/Cours/RMD3.md | 41 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 41 insertions(+)
 create mode 100755 CHIFR/Cours/RMD3.md

(limited to 'CHIFR/Cours/RMD3.md')

diff --git a/CHIFR/Cours/RMD3.md b/CHIFR/Cours/RMD3.md
new file mode 100755
index 0000000..abae348
--- /dev/null
+++ b/CHIFR/Cours/RMD3.md
@@ -0,0 +1,41 @@
+# Courbes elliptiques
+**Une courbe elliptique $\mathcal{C}$ est l'ensemble des points $(x,y)$ avec $(x,y) \in \mathbb{K},\, \mathbb{K}$ un corps, qui vérifient :**
+$$
+y^2 = x^3 + ax + b
+$$
+**avec $4a^3 + 27b^2 \neq 0$**
+
+Si $E:y^2=x^3+ax+b$ est une courbe définie sur un corps $\mathbb{K}$ on pose
+$$
+E(\mathbb{K}) = \{ (x,y) | y^2 = x^3 + ax + b\} \cup \{ \mathcal{O} \}
+$$
+où $\mathcal{O}$ est le point "à l'infini", parfois noté $\infty$.
+## Sur $\mathbb{F}_p$
+Ici, $\mathbb{K} = \mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $p > 3$.
+Un point est donc sur la courbe si $y^2=x^3+ax+b\; mod\; p$
+
+## Formules
+![[{596A56BB-4EC1-4A4E-9D79-F957C8D05BB0}.png]]
+
+## Théorème de Hasse
+$$
+p+1 - 2\sqrt{ p } \leq Card(E(\mathbb{F}_{p})) \leq p+1+2\sqrt{ p }
+$$
+
+## Utilisations
+- Signature iMessage (Apple)
+- Authentification SSL, TLS, Bitcoin
+- IoT (Moins couteux en ressources)
+- Systèmes de paiment
+
+## ElGamal
+### Problèmes
+
+## Logarithme discret
+$g^x =b \,mod\, p$
+### Sur une courbe elliptique
+Revient à résoudre $xQ = P$ où P,Q sont des points connus dans $E(\mathbb{F}_{p})$
+#### Attaques
+- Bruteforce : $\mathcal{O}(p)$
+- Shank : $\mathcal{O}(\sqrt{ p })$
+- $\rho$ de Pollard : $\mathcal{O}(\sqrt{ p })$
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