From fbb8126d2dfc0272731553a2ad043e3290c949bf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: marcellus Date: Thu, 12 Jun 2025 14:11:50 +0200 Subject: update: Thursday 4 June, 14:11:50 from IUseArchBTW --- ICQ/CM1.md | 1 + ICQ/CM2.md | 45 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ICQ/CM3.md | 15 +++++++++++++++ IQC/CM1.md | 1 - IQC/CM2.md | 45 --------------------------------------------- IQC/CM3.md | 15 --------------- 6 files changed, 61 insertions(+), 61 deletions(-) create mode 100644 ICQ/CM1.md create mode 100644 ICQ/CM2.md create mode 100644 ICQ/CM3.md delete mode 100644 IQC/CM1.md delete mode 100644 IQC/CM2.md delete mode 100644 IQC/CM3.md diff --git a/ICQ/CM1.md b/ICQ/CM1.md new file mode 100644 index 0000000..3567b47 --- /dev/null +++ b/ICQ/CM1.md @@ -0,0 +1 @@ +$10010 \to \ket{10010}$ diff --git a/ICQ/CM2.md b/ICQ/CM2.md new file mode 100644 index 0000000..0e6366a --- /dev/null +++ b/ICQ/CM2.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Produit direct +Aussi appelé produit tensoriel +- Si $\ket{a}$ et $\ket{b} \in \{ \ket{0}, \ket{1} \}$, on peut écrire 4 produits directs différents + - $\ket{0} \otimes \ket{1} = \ket{01}, \ket{1} \otimes \ket{0} = \ket{10}$ + - $\ket{0} \otimes \ket{0} = \ket{00},\ket{1} \otimes \ket{1} = \ket{11}$ +- Ces 4 vecteurs forment une base dans l'_espace produit_ $\ket{a} \otimes \ket{b}$ de dimension $2^2 = 4$ +- Donnent le système composite de sous-systèmes +- Ce mécanisme permet de copier l'espace de Hilbert associé à un qubit +- On peut alors former des espaces de Hilbert associés ) des registres à n qubits (dimension $2^n$) +## Exemple +$$ +\begin{align} +a,b,c,d \in \{ 0,1 \} \\ +\ket{\psi} &= c_{1}\ket{ab} + c_{2}\ket{cd} \\ +\ket{\phi} &= d_{1}\ket{ab} + d_{2}\ket{cd} \\ +\braket{\psi|\phi} &= (c_{1}^*\bra{ab} + c_{2}^*\bra{cd})\cdot(d_{1}\ket{ab} + d_{2}\ket{cd}) \\ +&= c_{1}^*d_{1}\braket{ab|ab} + c_{2}^*d_{2}\braket{cd|cd} + c_{1}^*d_{2}\braket{ab|cd} + c_{2}^*d_{1}\braket{ cd | ab } +\end{align} +$$ +Or, $$ +\braket{ ab | ab } = (\bra{a} \otimes \bra{b} )(\ket{a} \otimes \ket{b} ) = \braket{ a | a } \cdot \braket{ b | b } = \delta_{aa} \cdot \delta_{bb} = 1 +$$ +De même : +$$ +\braket{ ab | cd } = \dots = \delta_{ac} \cdot \delta_{bd} = 0 +$$ +Donc $\braket{ \psi | \phi } = c_{1}^*d_{1} + c_{2}^*d_{2}$ + +## Généralisation +$\braket{ \alpha \beta \gamma | abc } = \delta_{\alpha a} \cdot \delta_{\beta b} \cdot \delta_{\gamma c} \dots$ + +# Produit de Kronecker +$\ket{\psi}\bra{\phi}$ +## Exemple +$\ket{ab}\bra{cd} = (\ket{a} \otimes \ket{b})(\bra{c} \otimes \bra{d}) = \ket{a}\bra{c} \tilde{\otimes} \ket{b}\bra{d}$ +Où $\ketbra{a}{c}$ et $\Ketbra{b}{d}$ sont des opérateur agissant sur 1 qubit + +On peut maintenant reformuler la règle 5 sur les registres à n qubits +**Règle 5** : Les registres à n qubits sont formés à partir du produit direct des vecteurs de base $\{ \ket{0}, \ket{1} \}$ décrivant 1 qubit +On a $\ket{a_{1}} \otimes \ket{a_{2}} \otimes \dots \otimes \ket{a_{n}}$ avec $a_{i} \in \{ 0,1 \}$ + +**R3** : Une mesure est associée à l'action d'un opérateur hermitien A. Le résultat est une valeur propre $\lambda$ de A avec la probabilité $P_{\lambda} = |\braket{ a | \psi }|^2$ où $\ket{a}$ est le vecteur propre de A tel que $A\ket{a} = \lambda \ket{a}$ + +**R4** : Après une mesure avec A, qui a pour résultat $\lambda$, le système est dans l'état propre $\ket{a}$ à une "phase complexe" près + diff --git a/ICQ/CM3.md b/ICQ/CM3.md new file mode 100644 index 0000000..21ce91e --- /dev/null +++ b/ICQ/CM3.md @@ -0,0 +1,15 @@ +# Représentations matricielles +Il existe un isomorphisme entre l'espace de Hilbert associé à un qubit et l'espace des matrices $M_{2}(\mathbb{C})$. +- Par définition : + - $\ket{0} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ + - $\ket{1} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ +On a $\ket{\psi} = c_{1}\ket{0} + c_{2}\ket{1}$ pour tout $\ket{\psi}$ représentant un qubit ($c_i \in \mathbb{C}$) +- De plus $$ +\begin{align} +\bra{\psi} &= c_{1}^*(1 \quad 0) + c_{2}^*(0 \quad 1) \\ +&= (c_{1}^* \quad c_{2}^*) \\ +&= c_{1}^*\bra{0} + c_{2}^*\bra{1} +\end{align} +$$ +- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$ +- $\braket{ \phi | \psi } = (d_{1}^* \quad d_{2}^*) \cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = d_{1}^*c_{1} + d_{2}^*c_{2}$ diff --git a/IQC/CM1.md b/IQC/CM1.md deleted file mode 100644 index 3567b47..0000000 --- a/IQC/CM1.md +++ /dev/null @@ -1 +0,0 @@ -$10010 \to \ket{10010}$ diff --git a/IQC/CM2.md b/IQC/CM2.md deleted file mode 100644 index 0e6366a..0000000 --- a/IQC/CM2.md +++ /dev/null @@ -1,45 +0,0 @@ -# Produit direct -Aussi appelé produit tensoriel -- Si $\ket{a}$ et $\ket{b} \in \{ \ket{0}, \ket{1} \}$, on peut écrire 4 produits directs différents - - $\ket{0} \otimes \ket{1} = \ket{01}, \ket{1} \otimes \ket{0} = \ket{10}$ - - $\ket{0} \otimes \ket{0} = \ket{00},\ket{1} \otimes \ket{1} = \ket{11}$ -- Ces 4 vecteurs forment une base dans l'_espace produit_ $\ket{a} \otimes \ket{b}$ de dimension $2^2 = 4$ -- Donnent le système composite de sous-systèmes -- Ce mécanisme permet de copier l'espace de Hilbert associé à un qubit -- On peut alors former des espaces de Hilbert associés ) des registres à n qubits (dimension $2^n$) -## Exemple -$$ -\begin{align} -a,b,c,d \in \{ 0,1 \} \\ -\ket{\psi} &= c_{1}\ket{ab} + c_{2}\ket{cd} \\ -\ket{\phi} &= d_{1}\ket{ab} + d_{2}\ket{cd} \\ -\braket{\psi|\phi} &= (c_{1}^*\bra{ab} + c_{2}^*\bra{cd})\cdot(d_{1}\ket{ab} + d_{2}\ket{cd}) \\ -&= c_{1}^*d_{1}\braket{ab|ab} + c_{2}^*d_{2}\braket{cd|cd} + c_{1}^*d_{2}\braket{ab|cd} + c_{2}^*d_{1}\braket{ cd | ab } -\end{align} -$$ -Or, $$ -\braket{ ab | ab } = (\bra{a} \otimes \bra{b} )(\ket{a} \otimes \ket{b} ) = \braket{ a | a } \cdot \braket{ b | b } = \delta_{aa} \cdot \delta_{bb} = 1 -$$ -De même : -$$ -\braket{ ab | cd } = \dots = \delta_{ac} \cdot \delta_{bd} = 0 -$$ -Donc $\braket{ \psi | \phi } = c_{1}^*d_{1} + c_{2}^*d_{2}$ - -## Généralisation -$\braket{ \alpha \beta \gamma | abc } = \delta_{\alpha a} \cdot \delta_{\beta b} \cdot \delta_{\gamma c} \dots$ - -# Produit de Kronecker -$\ket{\psi}\bra{\phi}$ -## Exemple -$\ket{ab}\bra{cd} = (\ket{a} \otimes \ket{b})(\bra{c} \otimes \bra{d}) = \ket{a}\bra{c} \tilde{\otimes} \ket{b}\bra{d}$ -Où $\ketbra{a}{c}$ et $\Ketbra{b}{d}$ sont des opérateur agissant sur 1 qubit - -On peut maintenant reformuler la règle 5 sur les registres à n qubits -**Règle 5** : Les registres à n qubits sont formés à partir du produit direct des vecteurs de base $\{ \ket{0}, \ket{1} \}$ décrivant 1 qubit -On a $\ket{a_{1}} \otimes \ket{a_{2}} \otimes \dots \otimes \ket{a_{n}}$ avec $a_{i} \in \{ 0,1 \}$ - -**R3** : Une mesure est associée à l'action d'un opérateur hermitien A. Le résultat est une valeur propre $\lambda$ de A avec la probabilité $P_{\lambda} = |\braket{ a | \psi }|^2$ où $\ket{a}$ est le vecteur propre de A tel que $A\ket{a} = \lambda \ket{a}$ - -**R4** : Après une mesure avec A, qui a pour résultat $\lambda$, le système est dans l'état propre $\ket{a}$ à une "phase complexe" près - diff --git a/IQC/CM3.md b/IQC/CM3.md deleted file mode 100644 index 21ce91e..0000000 --- a/IQC/CM3.md +++ /dev/null @@ -1,15 +0,0 @@ -# Représentations matricielles -Il existe un isomorphisme entre l'espace de Hilbert associé à un qubit et l'espace des matrices $M_{2}(\mathbb{C})$. -- Par définition : - - $\ket{0} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ - - $\ket{1} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ -On a $\ket{\psi} = c_{1}\ket{0} + c_{2}\ket{1}$ pour tout $\ket{\psi}$ représentant un qubit ($c_i \in \mathbb{C}$) -- De plus $$ -\begin{align} -\bra{\psi} &= c_{1}^*(1 \quad 0) + c_{2}^*(0 \quad 1) \\ -&= (c_{1}^* \quad c_{2}^*) \\ -&= c_{1}^*\bra{0} + c_{2}^*\bra{1} -\end{align} -$$ -- $\ketbra{\psi}{\phi} = \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1}d_{1}^* & c_{1}d_{2}^* \\ c_{2}d_{1}^* & c_{2}d_{2}^*\end{pmatrix}$ -- $\braket{ \phi | \psi } = (d_{1}^* \quad d_{2}^*) \cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix} = d_{1}^*c_{1} + d_{2}^*c_{2}$ -- cgit v1.2.3