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diff --git a/PBS1/Couple Aléatoire.md b/PBS1/Couple Aléatoire.md index ce6b43b..27d599f 100755 --- a/PBS1/Couple Aléatoire.md +++ b/PBS1/Couple Aléatoire.md @@ -50,4 +50,30 @@ Ou aussi $Cov(X,Y) = \mathbb{E}(X \cdot Y) - \mathbb{E}(X) \cdot \mathbb{E}(Y)$ - $Cov(X,Y) > 0 \implies$ Plus $X$ grandit, plus $Y$ grandit aussi - $Cov(X,Y) < 0 \implies$ Quand $X$ augmente, $Y$ diminue (et vice-versa) - $Cov(X,Y) \approx 0 \implies$ Les 2 variables ne sont pas vraiment liées + +## Corrélation +$$ +\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}} +$$ +Dépendance linéaire entre $X$ et $Y$. +![[Pasted image 20250414173315.png]] +# Couple aléatoire discret +## Propriétés d'une densité +Une fonction $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}_+$ est une densité de probabilité si elle vérifie les conditions suivantes : +- **Positivité** : $f(x,y)\geq 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ +- **Normalisation** : $\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}f(x,y)dxdy = 1$ +## Couple aléatoire à densité +Un **couple aléatoire à densité** est un couple de variables aléatoires $(X,Y)$ défini sur un espace probabilisé et possédant une **densité conjointe $f_{X,Y}(x,y)$**. +Celà signifie que la probabilité que $(X,Y)$ appartienne à une région $A \subset \mathbb{R}^2$ est donnée par : +$$ +P((X,Y) \in A) = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}f(x,y)dxdy +$$ + +$$ +P(a \leq X \leq b ; c \leq Y \leq d) = \int^{d}_{c}\int^{b}_{a}f(x,y)dxdy +$$ +## Fonction de répartition +$$ +F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x ; Y \leq y) = \int^{y}_{-\infty}\int^{x}_{+\infty}f(x,y)dxdy +$$ ## Corrélation
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