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@@ -138,15 +138,77 @@ Si on mesure le spin dans la direction de $x$, on utilise : $S_{x} = \frac{\hbar ## Mesure du spin dans une direction arbitraire On utilise la combinaison linéaire $n_{x}S_{x} + n_{y} S_{y} + n_{z}S_{z} = \vec{n}\cdot \vec{S}$ avec $||\vec{n}|| = 1$ et $\vec{S} = S_{x}\vec{i} + S_{y}\vec{j} + S_{z}\vec{z}$ -Pour la règle de Born, si un $e^-$ est dans l'état $\ket{u}$ et que l'on mesure son spin se lon $O_{z}$, on a $S_{0}\%$ de chances de le trouver dans l'état $\ket{0}$ ou $\ket{1}$ +Pour la règle de Born, si un $e^-$ est dans l'état $\ket{u}$ et que l'on mesure son spin selon $O_{z}$, on a $S_{0}\%$ de chances de le trouver dans l'état $\ket{0}$ ou $\ket{1}$ En multipliant les mesures sur l'état $\ket{u}$ du spin selon $O_{z}$, on obtient la valeur moyenne $\braket{ S_{z} } = \bra{u}S_{z}\ket{u}$ Par le calcul : $$ \begin{align} -\braket{ S_{z} } &= \sum_{i}x_{i}p_{i} \\ +\braket{ S_{z} } &= \sum_{i}x_{i}p_{i} \qquad \text{(Espérance)}\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\hbar}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\hbar}{2} \right) \\ &= 0 \\ &= \bra{u} \frac{\hbar}{2}\sigma_{z}\ket{u} \end{align} $$ avec $\bra{u} = \frac{\bra{0} + \bra{1}}{\sqrt{ 2 }}$ et $\ket{u} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{ 2 }}$ +A partir de la moyenne $\braket{ S_{z} }$ on peut calculer l'incertitude (écart type) associé à cette mesure : +$$ +\begin{align} +\sigma^2 &= \Delta S_{z}^2 \\ +&= \braket{ S_{z}^2 } - \braket{ S_{z}}^2 \\ +&= \dots \\ +&= \frac{\hbar}{2}\sin \theta +\end{align} +$$ + +Une mesure correspond à un choix d'opérateur en mécanique quantique +De manière générale, 2 opérateurs ne commutent pas, l'incertitude sur leur mesure simultanée possède un minimum. Au niveau expérimental, cela implique que si les mesures liées aux opérateurs A et B tels que +$$ +\begin{align} +[A,B] &= AB - BA +&\neq 0 +\end{align} +$$ +ne peuvent être effectués sumultanément avec une précision arbitraire + +# Produit direct (version matricielle) +- On peut définir l'opération dans la notation matricielle +- $$ +\begin{align} +\ket{00} &= \ket{0} \otimes \ket{0} \\ +&= \begin{pmatrix} +1 \\ +0 +\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} +1 \\ +0 +\end{pmatrix} \\ +&=\begin{pmatrix} +1 \times \begin{pmatrix} +1 \\ +0 +\end{pmatrix} \\ +0 \times \begin{pmatrix} +1 \\ +0 +\end{pmatrix} +\end{pmatrix} \\ +&= \begin{pmatrix} +1 \times 1 = 0 \\ +1 \times 0 = 0 \\ +0 \times 1 = 0 \\ +0 \times 0 = 0 +\end{pmatrix} +\end{align} +$$ +- Le produit de Kronecker entre deux opérateurs A et B de taille $n \times m$ et $p \times q$ respectivement et d'élément $A_{ij},B_{ij}$ est de la forme +$$ +\begin{align} +A \otimes B = \begin{pmatrix} +A_{11}B & \dots & A_{1n}B \\ +\vdots & \ddots & \vdots \\ +A_{m1} & \cdots & A_{mn}B +\end{pmatrix} +\end{align} +$$ +avec $A_{ij}B = A_{ij}\begin{pmatrix}B_{11} & \cdots & B_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{p1} & \cdots & B_{pq}\end{pmatrix}$ +conséquences : $(A \otimes B)(\ket{\psi} \otimes \ket{\phi}) = A\ket{\psi} \otimes B \ket{\phi}$
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